Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo:

Esercizio 1 \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx \] Soluzione

Visto che il Delta del denominatore è negativo, e il numeratore è di primo grado, possiamo ricondurre questo integrale ad una somma tra l’integrale di un logaritmo e quello di un arcotangente: \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2+6}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^{2}-2x+10}dx+\frac{1}{2}\cdot6\int\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-2x+10\right)+3\int\frac{1}{\left(x-1\right)^{2}+9}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-2x+10\right)+3\cdot\frac{1}{9}\int\frac{1}{\left(\frac{x-1}{3}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-2x+10\right)+\int\frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{x-1}{3}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\ln\sqrt{x^{2}-2x+10}+\arctan\left(\frac{x-1}{3}\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\sqrt{3x-1}dx \] Soluzione

Qui abbiamo un integrale di una funzione irrazionale, con funzione integranda di primo grado: procediamo per sostituzione. \[ t=\sqrt{3x-1} \] \[ x=\frac{t^{2}+1}{3} \] \[ dx=\frac{2}{3}tdt \] Quindi l’integrale diventa: \[ \int\sqrt{3x-1}dx=\int t\cdot\frac{2}{3}tdt \] \[ \int\sqrt{3x-1}dx=\frac{2}{3}\int t^{2}dt \] \[ \int\sqrt{3x-1}dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{t^{3}}{3}+C \] \[ \int\sqrt{3x-1}dx=\frac{2}{9}t^{3}+C \] e otteniamo: \[ \int\sqrt{3x-1}dx=\frac{2}{9}\left(\sqrt{3x-1}\right)^{3}+C \] \[ \int\sqrt{3x-1}dx=\frac{2}{9}\left(3x-1\right)\sqrt{3x-1}+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{x+1}{x^{2}-4x+5}dx \] Soluzione

Visto che il Delta del denominatore è negativo, e il numeratore è di primo grado, possiamo ricondurre questo integrale ad una somma tra l’integrale di un logaritmo e quello di un arcotangente: \[ \int\frac{x+1}{x^{2}-4x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^{2}-4x+5}dx \] \[ \int\frac{x+1}{x^{2}-4x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4+6}{x^{2}-4x+5}dx \] \[ \int\frac{x+1}{x^{2}-4x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{x^{2}-4x+5}dx+\frac{6}{2}\int\frac{1}{x^{2}-4x+5}dx \] \[ \int\frac{x+1}{x^{2}-4x+5}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-4x+5\right)+3\int\frac{1}{\left(x-2\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{x+1}{x^{2}-4x+5}dx=\ln\sqrt{x^{2}-4x+5}+3\arctan\left(x-2\right)+C \]