Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:
Esercizio 1 \[ \int\tan^{4}xdx \] Ponendo \[ t=\tan x \] ricaviamo x: \[ x=\arctan t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^{2}}\rightarrow dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\tan^{4}xdx=\int\frac{t^{4}}{1+t^{2}}dt \] Dividiamo \[ t^{4}:\left(t^{2}+1\right) \] ottenendo quoziente \[ Q\left(x\right)=t^{2}-1 \] e resto \[ R\left(x\right)=1 \] L’integrale diventa: \[ \int\tan^{4}xdx=\int\left(t^{2}-1\right)dt+\int\frac{1}{1+t^{2}}dt \] \[ \int\tan^{4}xdx=\frac{t^{3}}{3}-t+\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\tan^{4}xdx=\frac{\tan^{3}x}{3}-\tan x+x+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{1}{x\sqrt{2x-1}}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt{2x-1} \] ricaviamo x: \[ x=\frac{t^{2}+1}{2} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=t\rightarrow dx=tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{x\sqrt{2x-1}}dx=\int2\frac{t}{t\left(t^{2}+1\right)}dt \] \[ \int\frac{1}{x\sqrt{2x-1}}dx=2\int\frac{1}{t^{2}+1}dt \] \[ \int\frac{1}{x\sqrt{2x-1}}dx=2\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{x\sqrt{2x-1}}dx=2\arctan\sqrt{2x-1}+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt[3]{x-1} \] ricaviamo x: \[ x=t^{3}+1 \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=3t^{2}\rightarrow dx=3t^{2}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}}dx=\int\frac{t^{3}+1}{t}\cdot3t^{2}dt \] \[ \int\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}}dx=3\int\left(t^{4}+t\right)dt \] \[ \int\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}}dx=\frac{3}{5}t^{5}+\frac{3}{2}t^{2}+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}}dx=\frac{3}{5}\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{5}+\frac{3}{2}\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{2}+C \] \[ \int\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}}dx=\frac{3}{5}\left(x-1\right)\sqrt[3]{\left(x-1\right)^{2}}+\frac{3}{2}\sqrt[3]{\left(x-1\right)^{2}}+C \] \[ \int\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}}dx=\frac{\left(6x+9\right)\sqrt[3]{\left(x-1\right)^{2}}}{10}+C \]
ciao. Nell’esercizio 3 non capisco dalla sostituzione di t in poi. potresti spiegarmi il procedimento? grazie.
scusa nell’esercizio 3 non capisco come fa ad uscire 3/5 t^5+3/t^2..puoi spiegarmelo per favore?
Ciao, non sono del sito ma posso aiutarti. Nell’esercizio 3 dopo aver sostituito le “vecchie” variabili con quelle trovate poco dopo si ha un integrale di (t^3+1)/t moltiplicato al differenziale ovvero 3t^2. Il 3 (essendo una costante moltiplicativa si porta fuori dall’integrale) e quindi rimane dentro l’integrale (t^3+1)/t moltiplicato al “nuovo” differenziale ovvero t^2. Il t^2 viene semplificato col denominatore di F(t) che diventa 1(il denominatore) e il differenziale diventa t. Quindi l’integrale risulta (t^3+1)/1*t, risolvendo la moltiplicazione abbiamo t^4+t. Come saprai la primitiva di t^4 è = t^4+1/4+1 e la primitiva di t è uguale a t^1+1/1+1. Quindi abbiamo 3(t^5/5+t^2/2)
Spero di essere stato chiaro, buona fortuna.
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Ciao Albert, non ho capito nell’esercizio numero 1 come hai ricavato dt e poi come hai sostituito nell’integrale di partenza…potresti spiegarmelo? Grazie
Albert, non ho capito come hai ricavato la x.. può spiergarmi per favore?
in quale esercizio?
all’es 3 nel risultato perché c’è (6x-9) e non (6x+9)?
Perchè c’era un errore che adesso ho modificato, grazie ;)
Ciao Anonimo,
se ti riferisci a (t^2+1)/2 che va sostituito al posto di x al denominatore…il 2 l’ho portato al numeratore della funzione integranda. In pratica:
int 1/(xrad(2x-1) dx=
= int 1/(t*(t^2+1)/2) tdt=
= int 2t/(t*(t^2+1)) dt
nell’esercizio 2 non manca un 2?