Studio di funzioni

In analisi matematica per studio di funzione si intende quell’insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione f(x) al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.

Formulari sullo studio di funzioni:

Funzioni elementari e loro domini – Formulario
Guida alla studio di funzione

Esercizi svolti sullo studio di funzioni:

Studio di funzioni – Funzioni razionali intere (15 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni razionali fratte (20 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni irrazionali (13 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni esponenziali (11 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni logaritmiche (11 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni goniometriche (7 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni con valori assoluti (8 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni inverse delle circolari (2 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Esercizi di riepilogo (14 esercizi svolti)

158 thoughts on “Studio di funzioni”

  1. Qualcuno per favore mi può risolvere il seguente studio di funzione:
    1/rad( 1+lnx)
    Fatemi sapere al più presto perché mi serve per domani
    Grazie

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  4. salve ho trovato il vostro sito strepitoso mi potreste risolvere questo studio di funzione e^ – radice quadrata di valore assoluto di x^2 -1 grazie in anticipooooooo

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  5. scusate volevo segnalarvi che il primo link di esercizi sullo studio di funzioni non è più disponibile;li potreste ripristinare ?!

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  6. Ciao a tutti! Frequento l ist t. Nautico di riposto(ct) e l anno prossimo (4anno) mi imbatterò anch’io nello studio delle funzioni.. Volevo sapere quali conoscenze di base sono importanti da sapere al fine di imparare al meglio l argomento?? Consigliatemi sono nel panico!!!!

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  8. Salve sono uno studente universitario. Mi complimento per il sito, in quanto ricco di esercizi e perlopiù molto concreto. Ho una richiesta da fare. E’ presente qualche sezione sul sito dove ci sono videolezioni?
    Resto in attesa per una risposta e porgo distinti saluti
    Domenico

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  12. ciao Albert, complimenti per il sito, davvero grandioso! potresti aiutarmi risolvendo questo studio di funzione? x-1/X^2-2x+2 vorrei vedere se l’ho risolta bene. ho alcuni dubbi. grazie :)

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  20. Ciao Albert per prima cosa grazie per il sito davvero utilissimo poi vorrei farti una domanda al volo. Nel dominio di questa funzione arctan x/(x^2-1) anche se l’arcotangente o ovunque definita in R devo comunque escludere i caliri di X= +1 e x=-1 visto che il denominatore va a zero ? Grazie in anticipo :)

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  22. ciao, scusami io ho uno studio di funzione di questo tipo: (1-x^2)*e^2x
    non riesco a capire perche i limiti non mi coincidono con l’andamento del grafico, puoi risolvermi il problema?
    ti ringrazio!

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  24. domani ho l’esame di matematica e ho risolto quasi tutti gli studi di funzione. volevo chiederti il mio prof nello studio chiede anche i punti di discontinuità e gli intervalli di monotonia. come gli calcolo?
    grazie in anticipo!

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  25. Hey Albert grazie mille per il sito, è molto d’aiuto! Ho problemi con la derivata di questa funzione: sinhx – 1/(1 – sinhx)^2 (la linea di frazione va sotto sinhx -1 e non solo 1)

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  32. ciao,io ho un dubbio riguardo allo studio dei limiti, più esattamente per quanto riguarda le forme indeterminate:
    nel caso in cui x–> – inf di f(x)/g(x) = Forma Indeterminata
    so che quando x–> +inf f(x)/g(x) se le funzioni non sono più scomponibili devo guardare il grado di infinito maggiore, quindi se ad esempio g(x) = e^x mentre f(x)=x^2+3x , arriva prima g(x) e quindi il limite è uguale a 0. ma nel caso in cui per la stessa funzione il limite tende a -inf non vale più la stessa regola.giusto? c’è un modo simile per arrivare facilmente alla soluzione??o come mi devo comportare se non riesco a uscire dalla forma indeterminata? senza fare riferimento al caso che ho posto, perchè mi riferisco a casi veramente complicati.. grazie mille

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    1. se x->-inf e^x tende a zero, e inf/0=inf (non è più una forma indeterminata).

      Detto questo, non posso sintezzare qui tutti i casi possibili (ognuno ha una sua strategia di risoluzione). Ti consiglio di andarti a vedere la sezione “limiti” di questo sito ;)

  33. ciao mi risolvete questa?? (2x-1)/(2x^3)
    studio di funzione completa..(domini,intersezioni,positività,asintoti,derivata prima e seconda,crescenza e decrescenza,massimi e minimi,concavità e convessità e punti di flesso)

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  35. Ciao albert, sto preparando l’esame di analisi 1, potresti darmi dei chiarimenti?

    ho questa funzione:

    f(x)=x^2(3log^2 x – 8logx+2)

    Chiede: verificare che f è prolungabile per continuità nel punto 0 e precisare la legge di corrispondenza g di tale prolungamento. In seguito dopo ever fatto il grafico di g mi chiede l’equazione della retta tangente al grafico di g nel punto di ascisse 1.

    Potresti indicarmi come procedere? anche a somme linee.

    Grazie anticipatamente per la risposta :)

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    1. 1) Il dominio è (0;+inf). Per rispondere alla prima domanda devi fare lim_(x->0+) di f(x) e verificare che NON diverge (ovvero deve risultare un numero k. La legge sarà f(x)=x^2(3log^2 x – 8logx+2) se x>0, mentre f(x)=k se x=0.

      2) f(1)=2, quindi la retta passa per il punto (1;2). Il fascio per questo punto è y-2=m(x-1). Ti manca solo m, che vale: m=f'(1) ovvero è il valore della derivata nel punto x=1

  36. Ciao Albert, scusami mi trovo in difficoltà con questa funzione : y = ln[(x^2-3x+2)/x^2]
    Il dominio dovrebbe essere D: (-inf; 1)U(2;+inf) giusto?
    Allora perchè il libro mi porta un asintoto in zero ?
    Grazie :)

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    2. Il dominio è quello che hai scritto tu, però devi escludere anche x=0 perchè ti compare x^2 al denominatore

  37. f=(2-x)/log(x-2)
    f=(2-x)(log(x-2))^(-1)

    f’= -1(log(x-2))^(-1) + (2-x)(-1)(log(x-2))^(-2)(1/(x-2))

    f’= -1/(log(x-2)) + (x-2)/((x-2)(log(x-2))^2)
    f’= -1/(log(x-2)) + 1/(log(x-2))^2
    f’=(1-log(x-2))/(log(x-2))^2

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    1. grazie mille davvero! e poi la derivata prima è maggiore di 0 per x>2,minore di 0 per x<2 e uguale a 0 per x=2 vero?

  38. salve Albert gentilmente potresti aiutarmi a svolgere la derivata prima di (2-x)/log(x-2)?
    io ho fatto cosi -1 per log(x-2)-(2-x) per 1/(x-2) tutto fratto (log(x-2))^2 e poi non riesco ad andare avanti…

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  39. ciao, sito davvero interessante e ben fatto.
    Mi potresti risolvere questo studio di funzione?

    y= x / x^2 – 5x + 6

    Ieri ho fatto la verifica in classe. Voglio controllare se ho fatto bene…

    grazie

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    1. Ciao Kelly, grazie,

      mi dispiace ma non ho tempo di fare studi completi: se invece hai qualche domanda in particolare a riguardo chiedi pure.

    1. L’argomento dell’arcoseno dev’essere compreso tra -1 e 1, quindi in questo caso devi mettere a sistema le seguenti disequazioni:

      x/(x+1) > -1
      x/(x+1) < 1

  42. Ciao Albert. Potresti svolgermi il dominio di: f(x)=log(log(|x|-2)/(x+1)). Grazie mille e complimenti per il sito!

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    2. grazie.. i lim poi sono:
      lim x-> +inf = -inf
      lim x->0 = +inf
      lim x->4 = +inf
      lim x-> +inf = + inf

  45. ecco io l’ho svolto in qst modo,dimmi dove sbaglio:
    dopo aver distinto i due casi x<0 e x>0
    I.D=R
    limx-> -inf (e^-x)+x =+inf
    limx-> +inf (e^-x)-x =+inf

    derivata prima
    (-e^-x)-1
    (-e^-x)+1
    le quali sono maggiori di zero per x>0 e minori di zero per x<0
    derivata seconda
    e^-x
    e^-x
    sono sepre maggiori di zero

    Rispondi

    1. limx-> +inf (e^-x)-x = 0 -inf = -inf

      (-e^-x)-1>0 –> MAI, questa derivata è sempre negativa

      (-e^-x)+1>0 –> e^(-x)<1 –> x>0 (qui hai ragione)

      Il resto è giusto.

  48. Albert!!
    Ho questa f'(x)= e^x (2x^2-4x-1) / (2x^2-1)^2
    quando vado per fare il segno, per il numeratore mi esce (4 +- 2rad di 6)/4, che è ancora scomponibile? Invece il denominatore come si calcola?
    Grazie mille per l’aiuto!!!

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    1. Ciao Rossella,

      il denominatore è sempre positivo nel dominio perchè è un quadrato, e^x è un esponenziale e quindi sempre positivo. Il segno di f’ coincide quindi col segno di
      (2x^2-4x-1). Quindi:

      2x^2-4x-1>=0
      L’equazione associata ti da come soluzioni quelle che hai trovato tu, semplificabili:
      x_(1,2)=(2 +- rad di 6)/2

      Quindi f’>0 per
      x <= (2 – rad di 6)/2 oppure x >= (2 + rad di 6)/2

    3. Ciao,

      mi dispiace ma non ho tempo di fare studi completi: se invece hai qualche domanda in particolare a riguardo chiedi pure.

    1. f(x)=e^(rad|x+1|)

      Dominio: tutto R perchè |x+1|>=0 sempre

      Segno: sempre positiva perchè la funzione esponenziale, quando esiste, è sempre positiva

      Per x->+-inf l’esponente tende in entrambi i casi a +inf così come tutta la funzione e^(+inf)=+inf

    1. Ciao,
      mi dispiace ma non riesco più a svolgere studi completi. Se hai qualche domanda in particolare a riguardo, ti rispondo volentieri appena posso…

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