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Data la funzione: $f(x)=3 x^3-2 x^2$, calcolare il: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti, derivate e tracciare il grafico.
DOMINIO:
$D=\mathbb{R}$
SIMMETRIE:
$\begin{aligned} f(-x) & =3(-x)^3-2(-x)^2= \\ & =-3 x^3-2 x^2 ; f(x) \rightarrow \text { NO PARI } \\ & \neq-f(x) \rightarrow \text { NO DISPARI }\end{aligned}$
INTERSEZIONI CON GLI ASSI:
$\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=3 x^3-2 x^2\end{array}\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array} \rightarrow \frac{(0,0) \in f(x)}{}\right.\right. \\ & \left\{\begin{array}{l}y=0 \\ y=3 x^3-2 x^2\end{array}\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x^2(3 x-2)=0, \quad x=0\end{array}\right.\right.\end{aligned}$
$x=\frac{2}{3} \rightarrow\left(\frac{2}{3}, 0\right) \in f(x)$
SEGNO:
$f(x)>0 \rightarrow 3 x^3-2 x^2>0 \rightarrow x^2(3 x-2)>0$
$\begin{aligned} & x^2>0 \rightarrow x \neq 0 \\ & 3 x-2>0 \rightarrow x>\frac{2}{3} \\ & \left\{\begin{array}{l}f(x)>0 \rightarrow x>\frac{2}{3} \\ f(x)<0 \rightarrow x<\frac{2}{3} \wedge x \neq 0\end{array}\right.\end{aligned}$
LIMITI:
$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow-\infty} 3 x^3-2 x^2=-\infty-\infty=-\infty \\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} 3 x^2-2 x=+\infty \rightarrow \begin{array}{c}\text { NO ASINTOTI } \\ \text { OBLIQUI }\end{array} \\ & \lim _{x \rightarrow+\infty} 3 x^3-2 x^2=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2(3 x-2)=+\infty \\ & \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} x(3 x-2)=+\infty \rightarrow \text { NO ASINTOTI } \\ & \text { OBLIQUI }\end{aligned}$
DERIVATE:
$\begin{aligned} & f^{\prime}(x)=9 x^2-4 x \\ & f^{\prime}(x) \geqslant 0 \rightarrow 9 x^2-4 x \geqslant 0 \rightarrow x(9 x-4) \geqslant 0\end{aligned}$
$\begin{aligned} & x \geqslant 0 \\ & 9 x-4 \geqslant 0 \rightarrow x \geqslant \frac{4}{9}\end{aligned}$
$\begin{aligned} & f(0)=0 \rightarrow(0,0) \text { MAX } \\ & f\left(\frac{4}{9}\right)=-\frac{32}{243} \rightarrow\left(\frac{4}{9},-\frac{32}{243}\right) \quad \text { MIN }\end{aligned}$
$\begin{aligned} & f^{\prime \prime}(x)=18 x-4 \\ & f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 \rightarrow 18 x-4 \geqslant 0 \rightarrow x \geqslant \frac{2}{9}\end{aligned}$
$f\left(\frac{2}{9}\right)=-\frac{16}{243} \rightarrow F\left(\frac{2}{9},-\frac{16}{243}\right)$ PUNTO DI FLESSO
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ciao, ho un dubbio nella parte dei limiti, perchè frazioni la funzione per x?
Perchè sta ricercando un possibile asintoto obliquo. per farlo devi calcolarti m e q (La formula dell’asintoto obliquo è y= mx + q)
m si calcola Lim x>infinito di f(x) / x
Spero di averti aiutato :)
si so che sono i punti di flesso max e min ma perche ti viene quel numero cosi alto io ho seguito il tuo stesso procedimento
Mi Spiegate lo studio del segno…?? A me nn viene cosi
scusate ma gli asintoti orizzontali e verticali dove sono? pechè ci sono sono quelli obliqui?
gli asintoti verticali non ci sono perché nel dominio non scartiamo nessun valore, gli asintoti orizzontali non ci sono perché risultano infinito.
Nelle simmetrie hai sbagliato il segno…. se F(-X)= 3(-x)^3 -2(-x)^2= -3x^3 +2x^2
No perché prima elevi la x alla seconda e diventa positiva, dopo la moltiplichi con 2 che lascia il meno davanti dato che + per – fa meno.
Ciao albert, sito bellissimo e molto utile …almeno cosi forse passo l esame di matematica . Volevo chiederti mi potresti spiegare perché non abbiamo gli asintoti obliqui ? Potrebbe essere perché quando calcoli m il risultato è infinito , quindi dopo non puoi calcolare q
Esattamente.
M deve appartenere ad R e deve essere diverso da 0.
E’ una condizione necessaria per poter calcolare poi la q.
non capisco perchè continua a tornare a capo il sito :/
Buongiorno non mi è chiaro lo studio del segno..mi viene fuori + – +
Ciao bellissimi 🙋.
Complimenti per il sito , molto conviniente , mi avete salavato la vita .
Ciao dall’Egittto 😘
Ciao Filippo!! Grande, grazie! :D Questo commento lo pubblico sulla pagina facebook :)
Salve, sul grafico figurano oltre ai punti di max , min e di flesso anche il punto con coordinate (2/9,0) cos’è quel punto? e come si ottengono le sue coordinate? Grazie mille :)
Forse intendi 2/3, come da punto 3)- INTERSEZIONE CON GLI ASSI
f(x) = (1+ex)lg (1+ex)
perchè sullo studio del segno hai posto la x diversa da zero?? x^2 è sempre positiva quindi maggiore di zero…..
x^2 è sempre positiva quando x è diversa da 0, altrimenti 0^2 = 0
Ciao, scusa il disturbo ma nel calcolare il punto di flesso sostituendo 2/9 nella f(x) mi risulta -8/243 invece di -16/243
…potresti dirmi dove posso aver sbagliato? Grazie in anticipo e scusa il disturbo
Mi avete salvato la vita
l unico sito chiaro con studio di funzioni complete, grandi
Ciao Albert, complimenti per il sito che ha tutto quello che occorre per far si che uno come me possa imparare passo passo. La mia domanda è questa: una volta trovati i punti di massimo e minimo, come faccio a capire se questi sono assoluti o relativi?
come si fa a capire a cosa è simmetrica la funzione ( in questo caso all’asse delle ascisse)?
perchè il dominio è tutto R???
Per Nausicaa : Il dominio è tutto R poiché si tratta di un funzione algebrica razionale intera che rispetto alle altre tipologie di funzioni non perde di senso per qualche valore di x. Ci sono semplici regole ben precise per definire il dominio di una certa funzione.
Ciao, nello studio del segno (punto 4), perchè nel “disegno” il valore zero è tutto + e non come nel caso di 2/3 che è + per x>2/3 e – per x<2/3? Grazie :
Ciao, sn nuovo, martedi prox ho l’esame di metodi matematici,
Quando fai il dominio perché nn poni 3x^2-2x^2> 0?
A me cosi facendo mi viene x> 2/3… che poi diverrebbe asintoto verticale.
Inoltre se quando fai il lim–> inf e viene inf non ci dobrebbe essere un asintoto obliquo vista la mancanza di asintoto orizzontale?
Allora essendo una funzione intera non ci sono asintoti perciò si scrive ( almeno il faccio così) “non vi sono asintoti poiché la funzione è intera” e questa è una delle regole fondamentali (è sempre così), per quanto riguarda il limite inf anche se viene inf non vi è un asintoto obliquo appunto per il fatto che la funzione è intera.
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
salve, non capisco perchè nello studio del segno la funzione risulta positiva tra 0 e 2/3, mentre invece dal grafico, esattamente, non lo è
Ciao, sei una persona fantastica!!! E’ già difficile trovare in rete esercizi svolti sulle funzioni, poi tu fai molto di più, perchè stai qua a rispondere alle domande degli altri utenti!! :)
Vorrei chiederti una cosa sul segno, forse hai già risposto ma non riesco a capire. Allora se x^2>=0 (io metto il maggiore e uguale per abitudine)fa “per ogni x appartiene appartiene a R(o D??)” poi nella soluzioni non si può mettere solo 3x-2>=0? Cosicchè risulti x>=2/5 Non sono sicura che tu abbia capito cosa intento, sono un asino in matematica, però possiamo far finta che la x^2 non esisti essendo sempre positiva?
Grazie mille e spero in una tua risposta
Intanto un sincero grazie! Poi si, il tuo ragionamento mi sembra giusto,e in questo caso dire R o dire D è la stessa cosa ;)
Alberto
ciao, l’ultimo punto di flesso che trovi è un punto di flesso obliquo?
grazie
Si, obliquo.
Grazie mille sei stato illuminante, il che è grandioso dato che senza esercizi come questo avrei il debito!
Grazie mille a te per il commento, Valentin!
nello studio del segno della funzione visto ke viene x ogni x escluso 0 e maggiore di 2/3 nel grafico nn viene negativo prima di 2/3 e positivo dopo i 2/3?? xkè hai messo tutto positivo??
non è tutto positivo: per x<2/3 la funzione sta sotto l’asse x…
salve mi dispiace per la domanda un po idiota …. ma non riesco a capire il grafico dello studio del segno. potresti aiutarmi =D =D grazie in anticipo xD
il primo fattore è sempre positivo (tranne in x=0 dove si annulla), mentre il secondo fattore è positivo per x>2/3 e negativo per x<2/3
Ciao Albert, facendo i calcoli riguardo il punto di flesso a me risulta 0, cioè sostituendo 2/9 ad f(x); quindi p.to di flesso ( 2/9, 0 ). Come fa ad uscirti -16/243 ?
Se ti viene zero vuol dire che per errore hai sostituito 2/9 nella derivata seconda, invece va sostituito in f(x):
f(2/9)=3(2/9)^3-2(2/9)^2=-16/243
Grazie milla per questi esercizi, sono molto utili e chiari!
Grazie!
Ciao Albert, anche io per prima cosa come molti altri vorrei complimentarmi per l’eccezionale sito e tutti i suoi contenuti!!Ma sopratutto per la tua grande disponibilità con le persone che hanno difficoltà con la matematica!Passo dunque alla domanda che ti volevo porre!ma nel punto 5, ovvero calcolo dei limiti, il limite di f(x) per x–>+infinito non dovrebbe essere una forma indeterminata?ovvero + inf – inf?il termine -2 moltiplicato con la x^2 che hai raccolto esternamente non da -infinito?grazie in anticipo albert!!
Innanzitutto semplicemente GRAZIE!
Raccogliendo eludo la forma indeterminata:
x^2 (3x-2) =
= +inf (+inf -2) =
= +inf * (+inf) = +inf
Ciao Albert!grazie per la risposta, mi è stata utilissima!!vorrei chiederti un’altra cosa..una domanda generale a riguardo dei segni!Non riesco proprio a capire secondo quale logica nel punto 4(studio del segno) bisogna porre la f(x)>0 oppure f(x)>=0,perchè ho notato che in alcuni esercizi usi il > e in altri il >=!!e la stessa domanda vale per lo studio di derivata prima e seconda!!quando mettere > e quando >=?grazie in anticipo per la risposta, spero di essere stato il piu’ chiaro possibile!
f(x)=0 lo poni già nelle intersezioni con gli assi, per cui se poni f(x)>=0 ritrovi punti già trovati in precedenza (ma lo puoi fare…meglio due volte che una :) )
Per f'(x): ti interessa sia quando si annulla sia il segno, quindi o poni f’=0 e poi f’>0 oppure tutto in una volta f’>=0
infatti io per convenzione ho sempre posto i fattori maggiori di 0..fino a quando nn mi son imbattuto in questo sito http://www.matematika.it/public/allegati/37/Disequazioni_secondo_%20grado_1_8.pdf dove si dice diversamente!adesso non so come comportarmi di fronte ad una disequazione..:/ cmq grazie mille delle risposte :)
Sono giusti entrambi i metodi, solo che se riesci a scomporre in fattori il trinomio/binomio di secondo grado (come nel nostro caso) arrivi più velocemente alla soluzione.
capito…e se avessi avuto x(9x-4)>0 nello studio del segno avrei dovuto mettere x<0 o x>0?
Si pone sempre i fattori maggiori di zero (per convenzione) indipendentemente dal verso della disequazione. Quindi nel tuo caso:
F1>0 -> x>0
F2>0 -> 9x+4>0 –> x>-4/9
Metti tutto nello schema dei segni e ottieni il segno + (quello che interessa a te perchè il verso della disequazione è maggiore) nell’intervallo x<-4/9 e x>0.
Innanzitutto complimenti x il sito!ma ho un dubbio…come mai nel porre la derivata prima maggiore di 0,otteniamo x maggiore e uguale di zero,e non MINORE..??grazie anticipatamente :)
Non è che “ottengo”, bensì semplicemente PONGO x>=0. In reltà mi interessa anche x<0 (vedi schema dei segni)
Ma allo studio del segno non dovrebbe essere x<0 e x>2/3 ?
No… tieni conto che x^2 è sempre positivo (o nullo quando x=0)
quindi 2/3 è diverso da 4/9
non ci posso credere…
Studiare il segno di f(x) significa studiare il segno di x^2(3x-2): il primo fattore è un quadrato, quindi sempre positivo tranne quando x=0 (in quel caso si annulla). Di conseguenza f(x) prende il segno del secondo fattore 3x-2, che è positivo quando x>2/3.
2/3=0,66… , 4/9=0,44… quindi sono diversi sì, ma cosa centra questo?! a cosa fai riferimento?
Ciao! Per prima cosa: i miei più sinceri complimenti per il sito! E’ davvero ben strutturato e le spiegazioni sono sempre molto chiare, davvero un ottimo lavoro!
Potrei chiederti un chiarimento in merito a questo esercizio?
All’inizio, quando calcoli le simmetrie, per verificare se la funzione è dispari -f(-x) non dovrebbe risultare: +3x(elevato alla terza) – 2x(elevato alla seconda) ?
Scusa per il disturbo e grazie! :)
Grazie Linda!
Io ho calcolato f(-x):
f(-x)=3(-x)^3 -2(-x)^2= -3x^3 -x^2
Di conseguenza -f(-x) risulta:
-f(-x)= -(-3x^3 -x^2)= 3x^3 +x^2
Ma scusa -2(-x^2) non dovrebbe fare +2x^2???
ma dopo f(-x)=3(-x)^3 -2(-x)^2= -3x^3 -x^2
il -2 dovè andato??
Ciao Fab,
le simmetrie servono per controllare se la funzione è simmetrica rispetto all’asse y (funzione pari), oppure simmetrica rispetto all’origine (funzione dispari).
Se una funzione è pari o dispari la puoi studiare per x positive (facendo meno conti nei passaggi successivi: segno, limiti, …). Infatti una volta che conosci l’andamento della funzione per x positive, per le x negative alla fine disegnerai il grafico simmetrico (rispetto all’asse y se f è pari, rispetto ad O se f è dispari).
Ciao, scusa ma non capisco cosa sono le simmetrie. Mi potresti spiegare velocemente? In tutte le funzioni fatte non le ho mai calcolate.
Grazie dell’ottimo lavoro
Chiarito tutto! Non ti preoccupare, buono studio!
ti chiedo scusa…purtroppo sono in una situazione molto frustrante…rispetto tantissimo quello che fai,difatti appena ho cominciato a visionare il blog ho creduto da subito di essere fra amici,ecco il motivo del mio sfogo.
Non è facile avere a carico un figlio,una moglie,due genitori e nello stesso tempo andare alle scuole serali per cambiare l’andazzo di una disastrosa situazione. Io continuerò a frequentare questo sito molto volentieri..spero sia tutto chiarito…GRAZIE.
Caro zanotero,
ho risposto in modo ironico al tuo sfogo, e spero di non averti offeso.
Devi sapere però che questo blog l’ho creato e lo gestisco da solo, e tutto il materiale che c’è è consultabile gratuitamente da chiunque. Io sono una persona come te: non sono nè lo stato italiano che dovrebbe garantire il diritto all’istruzione, nè rappresento “internet”. Per questo mi ero sentito tirato in ballo dal tuo sfogo…
Ciao!
evidentemente hai frainteso o ti sei sentito colpito sul vivo…Ho più di trent’anni e sono padre di famiglia,non un idiota qualsiasi..ho avuto solo uno sfogo perchè HO DESIDERIO E NECESSITA’ DI IMPARARE, non ho attaccato nessun insegnante,anche perchè la mia stima e ammirazione nei loro confronti supera ogni limite,ne tantomeno ho voluto offendere qualcuno di questo blog.
Immaginavo che il mio sfogo fosse compreso,ma evidentemente cerco di sfondare una porta aperta perchè forse,l’istruzione,NON è un diritto di tutti. Grazie comunque per la risposta.
Prima di tutto nessuno ti obbliga a venire qui a soddisfare il mio ego. Secondariamente: si esistono, sono i bravi insegnanti professionisti: pagandoli per la loro professionalità trasformi magicamente il loro ego in SANTA PAZIENZA!
grande albert!!!!
p.s.: ovviamente intendo lo STUDIO DELLE FUNZIONI…scusate tutti lo sfogo,ma di sicuro molti la penseranno come me,inoltre è un mondo a cui non mi sono mai affacciato. Ho già provveduto ad imparare da solo parabola,ellisse,circonferenza, ma qua mi sono perso. Tutto quello che trovo su intenet è adatto solo per ripassi,non per chi come me NON HA MAI AVUTO UN PROFESSORE CHE GLIEL’ABBIA SPIEGATI IN PASSATO. Aiutatemi per favore..gli esami sono a settembre 2012…siamo già al 24 agosto.
sono giorni che cerco di raccapezzarmi con queste benedette funzioni..sono un privatista,ed ho gli esami a settembre per passare al quinto anno di un istituto alberghiero…premettendo che non ho mai avuto problemi in matematica perchè l’adoro, è mai possibile che in ogni libro o sito che ho visionato ESISTE SOLO UNA FASTIDIOSA ARIA DI SACCENZA ATTA SOLO A SODDISFARE IL PROPRIO EGO CHE NON TI FA IMPARARE UNA BEATA MAZZA?..non esiste qualcuno che possa spiegare ad un deficente quale mi sento con un esempio del tipo “2 mele+2 mele=4 mele”?come iniziare a studiare e soprattutto cosa???
Perchè voglio sapere anche quando si annulla: trovo così le eventuali x dei punti di massimo, minimo e flesso.
Salve perchè pone i 2 risultati della derivata prima e seconda maggiori uguali a zero e non solo maggiori?
Grazie
Ciao Anonimo,
valuto il segno del primo fattore (prima riga del grafico) e del secondo (seconda riga). L’ultima riga è quindi il segno del prodotto (ovvero della funzione nel primo caso, della derivata nel secondo).
salve. non capisco bene il grafico dei segni (+ e -) sia nel punto 4 del segno che nel punto 6 delle derivate. potrebbe darmi un aiuto? grazie 1000
Ciao Anonimo,
sono le altezze rispettivamente dei punti di minimo e di flesso. Vengono calcolate sostituendo rispettivamente x(min)=4/9 e x(flesso)=2/9 nella funzione iniziale f(x).
Salve, quindi 4/9 e 2/9 sono le coordinate sull’asse x mentre per trovare le altezze relative all’asse x dovrei dovrei risolvere f(2/9)= 3*(2/9)^3 -2*(2/9)^2 . E lo stesso con f(4/9) giusto? Grazie
non capisco il -32/243 e il -16/243
Grazie a te di essere passato da queste parti! :D
grazie mille :D