Limiti di funzioni razionali intere

Calcolare i seguenti limiti:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{5}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{5}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)=-1 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right)=-\infty \]

Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{4}\left(-3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{4}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)=-3 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right)=-\infty \]

Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[x^{4}\left(-5+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow\infty}x^{4}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right)=-5 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}\right)=-\infty \]

Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^{6}-x^{4}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^{6}-x^{4}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{6}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}x^{6}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)=+1 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^{6}-x^{4}\right)=+\infty \]

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