Guida allo studio di funzione

L’obiettivo finale di uno studio di funzione è quello di riuscire a rappresentare, con la migliore approssimazione possibile, il grafico della funzione data \[ y=f\left(x\right) \] sul piano cartesiano. Illustriamo di seguito i passi da seguire per lo studio di funzione, ricordando che questo tutorial precede i 100 studio di funzione completamente svolti presenti sul sito.

1) Determinazione del dominio D della funzione. Per realizzare questo primo passo è importante conoscere i domini delle funzioni elementari che compongono la nostra funzione (qui il formulario a riguardo).

2) Determinazione di eventuali simmetrie e periodicità. Se la funzione è simmetrica rispetto all’asse y (funzione pari), \[ f\left(x\right)=f\left(-x\right) \] o rispetto all’origine (funzione dispari), \[ f\left(x\right)=-f\left(-x\right) \] basterà proseguire lo studio per x positive \[ x\geq0 \] semplificando così i calcoli. Lo stesso vale per le funzioni periodiche di periodo T, che possono essere studiate in un intervallo di ampiezza T.

3) Determinazione delle intersezioni con gli assi. Si pone \[ x=0 \] per determinare l’eventuale punto di intersezione della funzione con l’asse y; si determinano invece i punti di intersezione con l’asse x ponendo y=0, ovvero \[ f\left(x\right)=0 \]
4) Studio del segno della funzione. Ponendo per convenzione \[ f\left(x\right)>0 \] si trova gli intervalli di x per i quali la funzione è positiva (quando sta sopra l’asse x) e, di conseguenza per esclusione, anche quelli per i quali è negativa (quando sta sotto l’asse x).

5) Calcolo dei limiti. Bisogna stabilire come la funzione si comporta quando si “avvicina” agli eventuali punti di discontinuità della funzione, calcolando i limiti (qui la sezione esercizi svolti sui limiti, completa di formulari) del tipo \[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right) \] Si determinano così eventuali asintoti verticali. Inoltre bisogna stabilire come la funzione si comporta, nel caso il dominio lo richieda, quando x tende all’infinito: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right) \] Si determinano così eventuali asintoti orizzontali e, calcolando \[ m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left(x\right)}{x} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[f\left(x\right)-mx\right] \] eventuali asintoti obliqui del tipo \[ y=mx+q \]
6) Determinazione dei punti di massimo, minimo, e flesso: studio del segno delle derivate. Si calcola la derivata prima (qui la sezione esercizi svolti sulle derivate, completa di formulari) \[ f’\left(x\right)=\frac{dy}{dx} \] Si studia il segno della derivata risolvendo la disequazione \[ f’\left(x\right)\geq0 \] Negli intervalli in cui la derivata è positiva la funzione f(x) è crescente, negli intervalli in cui la derivata è negativa la funzione f(x) è decrescente; nei punti in cui la derivata si annulla abbiamo quindi per la nostra f(x) dei punti di massimo, minimo, o flesso a tangente orizzontale. Successivamente si calcola la derivata seconda \[ f”\left(x\right) \] Si studia il segno della derivata seconda risolvendo la disequazione \[ f”\left(x\right)\geq0 \] Negli intervalli in cui la derivata seconda è positiva la funzione f(x) è convessa, negli intervalli in cui la derivata seconda è negativa la funzione f(x) risulta concava; nei punti in cui la derivata seconda si annulla si determinano per la nostra f(x) gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua.

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5 thoughts on “Guida allo studio di funzione

  1. Ciao ho avuto un problema con la derivata prima di una funzione , il cui delta viene negativo , che significa per la funzione? la derivata finisce qui? la funzione è : 3x^3-4x^2+3x-4 . La derivata seconda se ha delta negativo che significa?
    Altra domanda , se calcolando una derivata per lo studio di funzione non mi accorgo di alcune semplificazioni da fare , ottengo due derivate diverse ? ai fini dello studio però i risultati saranno i medesimi? funzione esempio in cui c’è da semplificare (nella derivata prima ) y= 1+5*e^(-1/(x+2)^2)

    1. f’>0 -> 6x^2-8x+3>0 che è una parabola rivolta verso l’alto (6>0) e non ha intersezioni con l’asse x (delta<0) -> quindi è sempre positiva e la funzione sempre crescente

      No, un’espressione non semplificata è equivalente a quella semplificata. Il problema è che vai incontro a conti più difficili

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