Quesito 6 – Testo e soluzione – Maturità 2014 Scientifico PNI

testo
Si calcolino l’altezza e il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio \(\sqrt{3}\).
soluzione

2014_PNI_q6_fig.1

Consideriamo la Fig.1. L’altezza del cilindro è \(h=2\cdot\overline{OH}=2x\) con \(0<2x\leq 2r\). Se chiamiamo A un punto qualsiasi appartenente alla circonferenza di base, il volume \(\mathcal{V}\) del cilindro è \[ \mathcal{V}=\pi\cdot\overline{AH}^2\cdot\overline{OH}=\pi(r^2-x^2)\cdot 2x. \] Calcoliamo la derivata \(\mathcal{V}'\) per \(0\leq x\leq r\) \[ \mathcal{V}=2\pi(-3x^2+r^2) \] che è positiva per \(-r/\sqrt{3}\leq x \leq r/\sqrt{3}\). Considerando le limitazioni di \(x\), riconosciamo un massimo \(x_m=r/\sqrt{3}=1\) (Fig.2). Quindi \(h_{max}=2x_m=2\) e \(r_b=\sqrt{r^2-x_m^2}=\sqrt{2}\). 2014_PNI_q6_fig.2
 

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