Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Funzioni razionali fratte
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Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=frac{xleft(x-1right)^{2}}{left(x+1right)^{2}} ] 1) Dominio: [ D=mathbb{R}-left{ -1right} ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)neq fleft(xright) ] [ fleft(-xright)neq-fleft(xright) ] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: [ fleft(0right)=0rightarrowleft(0;0right)in fleft(xright) ] [ fleft(xright)=0rightarrow xleft(x-1right)^{2}=0rightarrow x=0:,: x=1rightarrowleft(1;0right)in fleft(xright) ] 4) Segno: [ fleft(xright)>0rightarrow x>0 ] [ fleft(xright)<0rightarrow x<0 ] 5) Limiti: [ lim_{xrightarrowpminfty}fleft(xright)=pminfty ] [ m=lim_{xrightarrowpminfty}frac{fleft(xright)}{x}=1 ] [ q=lim_{xrightarrowpminfty}fleft(xright)-mx=lim_{xrightarrowpminfty}frac{x^{3}-2x^{2}+x-x^{3}-2x^{2}-x}{x^{2}+2x+1} ] [ q=lim_{xrightarrowpminfty}frac{-4x^{2}}{x^{2}+2x+1}=-4 ] La funzione ha come asintoto obliquo la retta: [ y=x-4 ] Calcoliamo ora: [ lim_{xrightarrow-1^{pm}}fleft(xright)=left[frac{-4}{0^{+}}right]=-infty ] quindi x=-1 è un asintoto verticale.
6) Derivate: [ fleft(xright)=frac{xleft(x-1right)^{2}}{left(x+1right)^{2}} ] Facendo il calcolo della derivata prima otteniamo: [ f’left(xright)=frac{left(x^{2}-1right)left(x^{2}+4x-1right)}{left(x+1right)^{4}} ] [ f’left(xright)geq0rightarrowleft(x^{2}-1right)left(x^{2}+4x-1right)geq0 ] Risolvendo quest’ultima disequazione otteniamo: [ f’left(xright)geq0rightarrowleft(-infty;-2-sqrt{5}right]:cup:left(-1;-2+sqrt{5}right]:left[1;+inftyright)rightarrow fleft(xright); crescente ] [ f’left(xright)<0rightarrowleft(-2-sqrt{5};-1right):cup:left(-2-sqrt{5};+1right)rightarrow fleft(xright); decrescente ] quindi: [ MAX; per; x=-2pmsqrt{5} ] [ MINleft(1;0right) ] Omettiamo il calcolo della derivata seconda, e riportiamo il grafico ottenuto con Wolframalpha
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Non ho capito il segno,me lo può gentilmente spiegare?
ciao, ho un po di problemi con la derivata prima, potresti spiegarmi le regole di derivazione utilizzate?
Ottimo questo sito albert: le ho fatte tutte queste funzioni e non deludi mai:) grazie per il tuo impegnio costante :)
Potreste spiegarmi il segno? A me per -11 maggiore e per x<-1 e 0<x<1 minore
ma il dominio non è tutto r? cioè quello che sta al den è sempre magg di zero
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
ma come hai fatto nello studio delle intersezioni a trovarti cosi?
se x=0 f(0)=0
se f(x)=0 -> x(x-1)^2=0 -> x=0 (e ritrovo l’origine) e x=1
Nella derivata prima, quando si cerca crescenza e decrescenza, massimi e minimi, c’è un errore grossolano.
(x^2+4x-1) ha soluzioni:
x1=-2-2sqrt(2)
x2=-2+2sqrt(2)
e non:
x1=-2-sqrt(5)
x2=-2+sqrt(5)
e invece è giusto
x1=-2-sqrt(5)
x2=-2+sqrt(5)
A me viene:
1) -1 + √5
2) -1 – √5
Delta: b^2 – 4ac : 16+4: 20
Espressione: (-(b/2)+-√Delta)/2a : (-2+-√20)/2
E non capisco come possa venire quel risultato, forse e’ un errore
nn mi viene il risultato di Q , sarà sbagliato.
quello giusto è -4 ;)