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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ f\left(0\right)=0\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow x\left(x-1\right)^{2}=0\rightarrow x=0\:,\: x=1\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>0 \] \[ f\left(x\right)<0\rightarrow x<0 \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=\pm\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=1 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+x-x^{3}-2x^{2}-x}{x^{2}+2x+1} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-4x^{2}}{x^{2}+2x+1}=-4 \] La funzione ha come asintoto obliquo la retta: \[ y=x-4 \] Calcoliamo ora: \[ \lim_{x\rightarrow-1^{\pm}}f\left(x\right)=\left[\frac{-4}{0^{+}}\right]=-\infty \] quindi x=-1 è un asintoto verticale.

6) Derivate: \[ f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] Facendo il calcolo della derivata prima otteniamo: \[ f’\left(x\right)=\frac{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+4x-1\right)}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+4x-1\right)\geq0 \] Risolvendo quest’ultima disequazione otteniamo: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\left(-\infty;-2-\sqrt{5}\right]\:\cup\:\left(-1;-2+\sqrt{5}\right]\:\left[1;+\infty\right)\rightarrow f\left(x\right)\; crescente \] \[ f’\left(x\right)<0\rightarrow\left(-2-\sqrt{5};-1\right)\:\cup\:\left(-2-\sqrt{5};+1\right)\rightarrow f\left(x\right)\; decrescente \] quindi: \[ MAX\; per\; x=-2\pm\sqrt{5} \] \[ MIN\left(1;0\right) \] Omettiamo il calcolo della derivata seconda, e riportiamo il grafico ottenuto con Wolframalpha

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