Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 1

\[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\int\frac{dx}{x^{2}+2x+1+2} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\int\frac{dx}{\left(x+1\right)^{2}+2} \] Raccogliamo e portiamo fuori dall'integrale il termine noto al denominatore: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\frac{1}{2}\left(x+1\right)^{2}+1} \] Calcoliamo t portando dentro la potenza il coefficiente di (x+1) al quadrato: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1} \] Ricaviamo al numeratore la derivata di t \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo quindi: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C \] Esercizio 2

\[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5}=\int\frac{dx}{x^{2}+4x+4+1} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5}=\int\frac{dx}{\left(x+2\right)^{2}+1} \] Il nostro integrale è già nella forma voluta, otteniamo direttamente: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5}=\arctan\left(x+2\right)+C \] Esercizio 3

\[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1-1}{x^{2}+x+2}dx \] L'integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+x+2\right)+C_{1}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}+C_{1}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] Occupiamoci ora dell'integrale: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\int\frac{dx}{x^{2}+x+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}} \] Raccogliamo e portiamo fuori dall'integrale il termine noto al denominatore: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\int\frac{dx}{\frac{4}{7}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+1} \] Calcoliamo t portando dentro la potenza il coefficiente di (x+1/2) al quadrato: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\int\frac{dx}{\left(\frac{2}{\sqrt{7}}x+\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\int\frac{dx}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1} \] Ricaviamo al numeratore la derivata di t \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo quindi: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)+C_{2} \] Tornando al nostro integrale iniziale: \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}+C_{1}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{7}}{7}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)+C \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}-\frac{\sqrt{7}}{7}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)+C \]

15 thoughts on “Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 3

  1. Salve,

    Ho un dubbio riguardo alla soluzione dell’esercizio 3 da voi proposto. Per quale motivo c’è bisogno di determinare la derivata di t quando la soluzione è già un integrale nota? Il passaggio da voi proposto non dovrebbe essere fatto, per esempio, nel caso in cui al numeratore appare x dx? Grazie per la risposta

  2. Salve, nel primo esercizio al passaggio che dice “Ricaviamo al numeratore la derivata di t ”
    vorrei capire se di
    ((x+1)/sqrt(2))^2
    viene fatta solo la derivata di x+1 mantenendolo fratto sqrt(2)?
    in modo da ottenere 1/sqrt(2) al numeratore

    Se il mio ragionamento è errato, qualcuno può dirmi il passaggio?
    Grazie

  3. Ciao volevo chiederti se nel primo esercizio si può risolvere anche facendo:

    int 1/((x+1)^2+2) dx= int 1/((x+1)^2) dx + int 1/2 dx =
    = -1/(x+1)+x/2

    ? Il risultato mi viene diverso ma non riesco capire gli errori

  4. La soluzione che hai proposto rimane pubblicata sui commenti, a disposizione degli utenti.

    Dal mio punto di vista sicuramente è più breve, ma richiede comunque la conoscenza di una formula in più (o perlomeno più complicata rispetto all’integrale immediato dell’arcotangente): magari alcuni studenti (io sarei tra quelli) preferiscono fare tre passaggi in più, piuttosto che doversi imparare a memoria altre formule.

    Poi, sempre secondo me, utilizzare “trucchi algebrici” per arrivare ad un integrale più semplice e immediato ha un’eleganza senza pari ;)

  5. Ti consiglierei di abbreviare il procedimento per renderlo più fruibile dagli utenti… Non per presunzione ma mi sembra obiettivo che la soluzione che ti ho proposto è più breve, elegante e facile.

  6. Io per “formula dell’arcotangente” intendo

    int dx/(1+x^2) = arctg(x)+C

    Ora ho capito cosa intendevi tu, e posso affermare che anche il tuo procedimento è corretto.

  7. SCUSA… sono lo stesso di prima…

    int(1/(x+1)^2 +(sqrt(2))^2)non è uguale a (1/sqrt(2))arctg((x+1/sqrt(2)) ????
    posso vedere il 2 come sqrt(2) al quadrato e sfrutto l’integrale immediato

    int {[f'(x)] / ([f(x)]^2+a^2) }dx =

    (1/a)*arctg{f(x)/a} mi sono spiegato bene?

    non capisco perchè affermi che potevo farlo solo nel caso a=1 !!!

  8. se posso permettermi il primo integrale non si può risolvere mettendo subito al denominatore (x+1)^2 +2 ed usare la formula dell’arcotangente e quindi semplificare le cose????

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