Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 1

\[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\int\frac{dx}{x^{2}+2x+1+2} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\int\frac{dx}{\left(x+1\right)^{2}+2} \] Raccogliamo e portiamo fuori dall’integrale il termine noto al denominatore: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\frac{1}{2}\left(x+1\right)^{2}+1} \] Calcoliamo t portando dentro la potenza il coefficiente di (x+1) al quadrato: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1} \] Ricaviamo al numeratore la derivata di t \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo quindi: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C \] Esercizio 2

\[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5}=\int\frac{dx}{x^{2}+4x+4+1} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5}=\int\frac{dx}{\left(x+2\right)^{2}+1} \] Il nostro integrale è già nella forma voluta, otteniamo direttamente: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+4x+5}=\arctan\left(x+2\right)+C \] Esercizio 3

\[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1-1}{x^{2}+x+2}dx \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+x+2\right)+C_{1}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}+C_{1}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] Occupiamoci ora dell’integrale: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\int\frac{dx}{x^{2}+x+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}} \] Raccogliamo e portiamo fuori dall’integrale il termine noto al denominatore: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\int\frac{dx}{\frac{4}{7}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+1} \] Calcoliamo t portando dentro la potenza il coefficiente di (x+1/2) al quadrato: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\int\frac{dx}{\left(\frac{2}{\sqrt{7}}x+\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\int\frac{dx}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1} \] Ricaviamo al numeratore la derivata di t \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{4}{7}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo quindi: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+x+2}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)+C_{2} \] Tornando al nostro integrale iniziale: \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}+C_{1}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+2}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{7}}{7}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)+C \] \[ \int\frac{x}{x^{2}+x+2}dx=\ln\sqrt{x^{2}+x+2}-\frac{\sqrt{7}}{7}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\right)+C \]