Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 2

Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 1

\[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle=0 \] infatti si scompone facilmente in \[ x^{2}+8x+16=\left(x+4\right)^{2} \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=\int\frac{dx}{\left(x+4\right)^{2}} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=\int\left(x+4\right)^{-2}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=-\left(x+4\right)^{-1}+C \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=-\frac{1}{x+4}+C \] Esercizio 2

\[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle=0 \] infatti si scompone facilmente in \[ 4x^{2}-4x+1=\left(2x-1\right)^{2} \] Possiamo ricavarci al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{4\left(2x-3\right)}{4x^{2}-4x+1}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-12}{4x^{2}-4x+1}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-4-8}{4x^{2}-4x+1}dx \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-4}{4x^{2}-4x+1}dx+\frac{1}{4}\int\frac{-8}{4x^{2}-4x+1}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-4}{\left(2x-1\right)^{2}}dx-\int\frac{2}{\left(2x-1\right)^{2}}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\ln\left(2x-1\right)^{2}-\int2\left(2x-1\right)^{-2}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\ln\left(2x-1\right)^{2}+\left(2x-1\right)^{-1}+C \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{2}\ln\left|2x-1\right|+\frac{1}{2x-1}+C \] Esercizio 3

\[ \int\frac{dx}{4x^{2}+5} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta minore di zero.

La soluzione di questo esercizio verrà ripubblicata a breve…

29 thoughts on “Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 2

  1. Exercizio 2 probabilmente da correggere
    Dovrebbe sparire l1/4 anche dal primo integrale
    Se sbaglio correggetemi please

  2. Ciao.. io il secondo esercizio l’ho risolto facendo diventare il numeratore 2x -1 -2 …. a questo punto ho fatto diventare tutto l’integrale:
    int(2x – 1/(2x – 1)^2) -2 int(1/(2x – 1)^2)) + c
    è fattibile questa cosa? perchè il risultato non viene uguale:
    ln|2x-1| +2(1/2x-1)) +c

  3. Ciao Albert, volevo chiederti una cosa:

    Nel secondo esercizio potrei prendere l’integrale inziale e scomporlo come int(1/(2x-3))dx – int(1/(2x-1)^2)dx ??

    Ciao e grazie :)

  4. nel secondo esercizio la derivata del denominatore non è 8x-4 da cui 4(2x-1)? perchè al numeratore c’ è 4(2x-3)? non capisco

  5. ciao albert, io invece non ho capito come mai nel secondo esercizio il risultato finale ha 1/2 come coefficiente di ln invece di 1/4 che c’era scritto in precedenza. Grazie.

  6. Ciao Gianni,

    se ho capito bene ti riferisci al passaggio tra la terzultima e la penultima riga dell’esercizio 2. L’ultimo integrale ha un fattore 2 al suo interno, che è la derivata della funzione che sta dentro parentesi (2x-1). In questo modo posso integrare la funzione (2x-1)^(-2) come una funzione potenza, senza preoccuparmi che alla base non ho x, ma ho (2x-1).

  7. Ciao albert sono gianni,ma nell’esercizio 2 al secondo integrale non dovrebbe venire 2/2x-1 ??? cioè non ho capito che fine fa il 2 al numeratore.
    Grazie

  8. Nell’esercizio 2 il denominatore e’ stato scomposto come (2x-1)^2
    Dopo vari passaggi mi ritrovo ai due integrali del denominatore (2x+1)^2 …E’ solo un errore di battitura o c’è qualche passaggio che mi sono perso?

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