Calcolare i seguenti integrali:
Esercizio 1
\[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle=0 \] infatti si scompone facilmente in \[ x^{2}+8x+16=\left(x+4\right)^{2} \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=\int\frac{dx}{\left(x+4\right)^{2}} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=\int\left(x+4\right)^{-2}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=-\left(x+4\right)^{-1}+C \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16}=-\frac{1}{x+4}+C \] Esercizio 2
\[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle=0 \] infatti si scompone facilmente in \[ 4x^{2}-4x+1=\left(2x-1\right)^{2} \] Possiamo ricavarci al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{4\left(2x-3\right)}{4x^{2}-4x+1}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-12}{4x^{2}-4x+1}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-4-8}{4x^{2}-4x+1}dx \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-4}{4x^{2}-4x+1}dx+\frac{1}{4}\int\frac{-8}{4x^{2}-4x+1}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{8x-4}{\left(2x-1\right)^{2}}dx-\int\frac{2}{\left(2x-1\right)^{2}}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\ln\left(2x-1\right)^{2}-\int2\left(2x-1\right)^{-2}dx \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{4}\ln\left(2x-1\right)^{2}+\left(2x-1\right)^{-1}+C \] \[ \int\frac{2x-3}{4x^{2}-4x+1}dx=\frac{1}{2}\ln\left|2x-1\right|+\frac{1}{2x-1}+C \] Esercizio 3
\[ \int\frac{dx}{4x^{2}+5} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta minore di zero.
La soluzione di questo esercizio verrà ripubblicata a breve…
La soluzione del terzo è:
1/2rad(5) per arctan(2x/rad(5)) +c
secondo me è 1/10 per arctan(2x/rad5)
Exercizio 2 probabilmente da correggere
Dovrebbe sparire l1/4 anche dal primo integrale
Se sbaglio correggetemi please
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ho risolto scusate :)
Ciao.. io il secondo esercizio l’ho risolto facendo diventare il numeratore 2x -1 -2 …. a questo punto ho fatto diventare tutto l’integrale:
int(2x – 1/(2x – 1)^2) -2 int(1/(2x – 1)^2)) + c
è fattibile questa cosa? perchè il risultato non viene uguale:
ln|2x-1| +2(1/2x-1)) +c
AIUTOOOOO ESAME IN CORSOOO!!!
come si risolve questo integrale???
int di (x-5) dx
(x^2)+10x+25
ho un problema di segni!!!
int (x-5)/(x^2)+10x+25 dx
eh non sono qui in tempo reale, mi dispiace…spero che l’esame ti sia andato bene…
esercizio 3 ?
Verrà ripubblicato
Ciao, non ho capito nel secondo i 3 passaggi dopo la scomposizione? Cioè 1/4 da dove esce? E il raccoglimento? (cioè 4 per 2x-3)
ho moltiplicato per 4 dentro l’integrale, e per 1/4 fuori
Ciao Albert, volevo chiederti una cosa:
Nel secondo esercizio potrei prendere l’integrale inziale e scomporlo come int(1/(2x-3))dx – int(1/(2x-1)^2)dx ??
Ciao e grazie :)
Non ho capito come riesci a scomporlo così, ma no, non credo tu possa farlo…
Albert scusami, ma mi puoi spiegare come si risolve l’integrale di una funzione potenza?? Non riesco a trovarlo nè a risolverlo.. Grazie mille
int x^n dx = (con n intero diverso da -1)
= x^(n+1) / (n+1) + C
nel secondo esercizio la derivata del denominatore non è 8x-4 da cui 4(2x-1)? perchè al numeratore c’ è 4(2x-3)? non capisco
ah si avevo inteso male… risolto:)
ciao albert, io invece non ho capito come mai nel secondo esercizio il risultato finale ha 1/2 come coefficiente di ln invece di 1/4 che c’era scritto in precedenza. Grazie.
Perchè porto davanti l’esponente 2 dell’argomento e poi semplifico 1/4 *2 = 1/2.
grazie!
Ciao,
no, viene 1/(2√5)Arctan x/(2√5)+C
a breve la ripubblico.
La soluzione è (1/(2√5))Arctan(2x/√5)
L’ultimo viene 1/(√5)Arctan x/(√5)+C?
Ciao Gianni,
se ho capito bene ti riferisci al passaggio tra la terzultima e la penultima riga dell’esercizio 2. L’ultimo integrale ha un fattore 2 al suo interno, che è la derivata della funzione che sta dentro parentesi (2x-1). In questo modo posso integrare la funzione (2x-1)^(-2) come una funzione potenza, senza preoccuparmi che alla base non ho x, ma ho (2x-1).
Ciao albert sono gianni,ma nell’esercizio 2 al secondo integrale non dovrebbe venire 2/2x-1 ??? cioè non ho capito che fine fa il 2 al numeratore.
Grazie
Errore di battitura, che ho corretto. Grazie!
Nell’esercizio 2 il denominatore e’ stato scomposto come (2x-1)^2
Dopo vari passaggi mi ritrovo ai due integrali del denominatore (2x+1)^2 …E’ solo un errore di battitura o c’è qualche passaggio che mi sono perso?