Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 1

Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 1

\[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta maggiore di zero, infatti si scompone facilmente in \[ 9x^{2}-25=\left(3x-5\right)\left(3x+5\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A e B tali che \[ \frac{1}{9x^{2}-25}=\frac{A}{3x-5}+\frac{B}{3x+5} \] \[ \frac{1}{9x^{2}-25}=\frac{3Ax+5A+3Bx-5B}{9x^{2}-25} \] \[ \frac{1}{9x^{2}-25}=\frac{\left(3A+3B\right)x+5A-5B}{9x^{2}-25} \] Ora, visto che deve essere \[ 1=\left(3A+3B\right)x+5A-5B \] \[ 0x+1=\left(3A+3B\right)x+5A-5B \] otteniamo \[ \left\{ \begin{array}{c} 3A+3B=0\\ 5A-5B=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{10}\\ B=-\frac{1}{10} \end{array}\right. \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{10}\int\frac{1}{3x-5}dx-\frac{1}{10}\int\frac{1}{3x+5}dx \] \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}\int\frac{3}{3x-5}dx-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}\int\frac{3}{3x+5}dx \] \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{30}\ln\left|3x-5\right|-\frac{1}{30}\ln\left|3x+5\right|+C \] \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{30}\ln\left|\frac{3x-5}{3x+5}\right|+C \] Esercizio 2

\[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta maggiore di zero, infatti si scompone facilmente in \[ x^{2}-x-6=\left(x-3\right)\left(x+2\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A e B tali che \[ \frac{1}{x^{2}-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2} \] \[ \frac{1}{x^{2}-x-6}=\frac{Ax+2A+Bx-3B}{x^{2}-x-6} \] \[ \frac{1}{x^{2}-x-6}=\frac{\left(A+B\right)x+2A-3B}{x^{2}-x-6} \] Ora, visto che deve essere \[ 1=\left(A+B\right)x+2A-3B \] \[ 0x+1=\left(A+B\right)x+2A-3B \] otteniamo \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ 2A-3B=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{5}\\ B=-\frac{1}{5} \end{array}\right. \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{5}\int\frac{1}{x-3}dx-\frac{1}{5}\int\frac{1}{x+2}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{5}\ln\left|x-3\right|-\frac{1}{5}\ln\left|x+2\right|+C \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{5}\ln\left|\frac{x-3}{x+2}\right|+C \] Esercizio 3

\[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle>0 \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm7}{4}\rightarrow x_{1}=3\;,\; x_{2}=-\frac{1}{2} \] e si scompone quindi in \[ 2x^{2}-5x-3=\left(x-3\right)\left(2x+1\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A e B tali che \[ \frac{1}{2x^{2}-5x-3}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{2x+1} \] \[ \frac{1}{2x^{2}-5x-3}=\frac{2Ax+A+Bx-3B}{2x^{2}-5x-3} \] \[ \frac{1}{2x^{2}-5x-3}=\frac{\left(2A+B\right)x+A-3B}{2x^{2}-5x-3} \] Ora, visto che deve essere \[ 1=\left(2A+B\right)x+A-3B \] \[ 0x+1=\left(2A+B\right)x+A-3B \] otteniamo \[ \left\{ \begin{array}{c} 2A+B=0\\ A-3B=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{7}\\ B=-\frac{2}{7} \end{array}\right. \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3}=\frac{1}{7}\int\frac{1}{x-3}dx-\frac{1}{7}\int\frac{2}{2x+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3}=\frac{1}{7}\ln\left|x-3\right|-\frac{1}{7}\ln\left|2x+1\right|+C \] \[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3}=\frac{1}{7}\ln\left|\frac{x-3}{2x+1}\right| \]

34 thoughts on “Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 1

  1. Ciao scusa non mi è chiaro come faccio nel primo esercizio trovare A=1/10 e B=1/10. Potresti spiegarmelo per favore?

    1. Ciao, dopo aver scomposto il denominatore in (3x-5)(3x+5), a noi interessa riscrivere la funzione in forma di somme tra razionali semplici non scomponibili, quindi ci interessa trovare due numeri (A e B) tali che:
      1/[(3x-5)(3x+5)] = A/(3x-5) + B/(3x+5)

      Una volta fatto il minimo comune multiplo tra i denominatori e conclusi i calcoli ci troviamo difronte ad una funzione che ha lo stesso denominatore di quella di partenza ma che ha il numeratore dipendente dai due parametri A e B.
      Per l’identità tra polinomi, avendo le due funzioni lo stesso denominatore, allora anche il numeratore sarà uguale, quindi otteniamo l’equazione:
      1 = (3A+3B)x + (5A-5B)

      Perché sia vera è facilmente intuibile che il coefficiente di x^1 debba essere nullo e che (5A-5B), volendo il coefficiente di x^0, debba essere uguale ad 1.
      Quindi possiamo risolvere il sistema lineare composto dalle equazioni { [3A+3B=0], [5A-5B=1] }.
      Dunque risolviamo il sistema, la prima equazione diventa [A = -B] e la seconda, sostituendo “-B” al posto di A diventa [-5B-5B=1].
      Abbiamo quindi ottenuto che [A = -B] e che [B=-1/10].

      Si ottiene infine che A=1/10 e che B=-1/10.

  2. Ciao, scusa volevo chiedere un chiarimento: nell’es.3 anzichè scomporre il polinomio in (x-3)(2x+1) lo avessi scomposto in (2x-6)(x+1/2) sarebbe stato comunque giusto il risultato finale? In pratica anzichè moltiplicare la a(2) del trinomio per (x+1/2) come hai fatto tu, l’ho moltiplicata per (x-3).

    1. no, hai dimenticato al denominatore 2*a, infatti la formula è: X1,2 = (-b + o – radice quadrata di delta) / 2*a , e non solo fratto due

  3. salve, mi chiedevo perchè 5A-5B non è raccolto come 5(A-B) e gentilmente mi potrebbe spiegare i sistemi? la rngrazio per il suo tempo, il suo sito mi è molto utile.

    1. – puoi anche raccogliere, non cambia nulla

      – per esempio trovi A in funzione di B dalla prima equazione, e lo sostituisci nella seconda. Così trovi B dalla seconda. Poi, sostituendo il valore di B, trovi A dalla prima.

  4. buogiorno.. scusi mi puo spiegare riguardo l esercizio 1 l ultimissimo passaggio? come si arriva a 1 trentesimo ln del modulo di 3x -5 fratto 3x + 5 .. grazie.. ps ottimo sito complimenti

    1. Grazie!
      Raccolgo 1/30 e poi utilizzo la proprietà dei logaritmi: una differenza di log con stessa base è uguale al log che ha per base la stessa base e argomento il quoziente tra gli argomenti

  5. Ciao ho un dubbio riguardo al terzo esercizio.. la formula risolutiva generale per questo tipo di integrali è A/a(x-x1) + B/(x-x2) giusto? Quindi l’integrale andrebbe svolto come A/2(x-3) + B/(2x+1) o sbaglio? Grazie in anticipo

    1. Si però la seconda soluzione è -1/2, quindi ottieni:

      A/(2(x-3)) + B/(x+1/2)

      e se segui questa strada il risultato viene giusto lo stesso. Io ho invece fatto:

      A/(x-3) + B/(2(x+1/2))=
      = A/(x-3) + B/(2x+1)

    1. Ho bisogno di un 3 dentro al numeratore (derivata del denominatore) e allora moltiplico fuori per 1/3 (in modo che comunque 1/3 *3= 1 e scrivo un integrale equivalente)

  6. buongiorno. nell’es 3 come si fa a trovare i valori 1/7 e -2/7? in special modo come si trova il 7 al denominatore? grazie

    1. Risolvendo il sistema al passaggio precendente. Dalla prima ottieni:

      B=-2A

      che sostituita nella seconda fornisce:

      A-3(-2A)=1
      A+6A=1
      7A=1 –> A=1/7

      B=-2A=-2(1/7)=-2/7

    1. Ho risolto!
      Spiego perchè può sempre servire a qualcuno.
      Ho visto ∫1/(x-3)^2 come ∫(x-3)^-2
      quindi l’integrale è (x-3)^(-2+1)/-2+1 => (x-3)^-1/-1 = 1/x-3

      Saluti

  7. 1=(A+B)x+2A-3B perchè, facendo riferimento al passaggio precedente, il numeratore della frazione al primo membro (1) dev’essere uguale al numeratore della frazione al secondo membro ((A+B)x+2A-3B), visto che le frazioni sono uguali e hanno lo stesso denominatore.

    Ora torniamo a 1=(A+B)x+2A-3B: Il coefficiente di x al primo membro è 0 (la x non c’è) per cui 0 dev’essere uguale ad (A+B) che è il coefficiente della x al secondo membro. Il termine noto al primo membro è 1 e dev’essere uguale al termine noto del secondo membro (2A-3B).

    In questo modo hai 2 equazioni in 2 incognite, che trovi facilmente risolvendo il sistema.

  8. può spiegarmi perchè nell’esercizio 2 pone:
    1=(A+B)x+2A-3B
    0x+1=(A+B)x+2A-3B
    e poi fino ad arrivare che A=1/5 e B=-1/5 ??

  9. Scusa ma.. nell’esercizio 3, la derivata del secondo denominatore (2x+1) non è =1, quindi non si può scrivere ln|…| ma bisogna portare il 2 di -2/7 all’interno.. e così verrebbe:
    1/7ln|x-3/2x+1| + C…
    Scusate se mi sono sbagliato..

  10. Nell’esercizio 3 la scomposizione di 2x^2-5x-3 non dovrebbe essere
    2(x-3)(x+1/2) invece di (x-3)(x+1/2)?
    In caso affermativo come ci comportiamo con il 2?

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