Calcolare i seguenti integrali:
Esercizio 1
\[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta maggiore di zero, infatti si scompone facilmente in \[ 9x^{2}-25=\left(3x-5\right)\left(3x+5\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A e B tali che \[ \frac{1}{9x^{2}-25}=\frac{A}{3x-5}+\frac{B}{3x+5} \] \[ \frac{1}{9x^{2}-25}=\frac{3Ax+5A+3Bx-5B}{9x^{2}-25} \] \[ \frac{1}{9x^{2}-25}=\frac{\left(3A+3B\right)x+5A-5B}{9x^{2}-25} \] Ora, visto che deve essere \[ 1=\left(3A+3B\right)x+5A-5B \] \[ 0x+1=\left(3A+3B\right)x+5A-5B \] otteniamo \[ \left\{ \begin{array}{c} 3A+3B=0\\ 5A-5B=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{10}\\ B=-\frac{1}{10} \end{array}\right. \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{10}\int\frac{1}{3x-5}dx-\frac{1}{10}\int\frac{1}{3x+5}dx \] \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}\int\frac{3}{3x-5}dx-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}\int\frac{3}{3x+5}dx \] \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{30}\ln\left|3x-5\right|-\frac{1}{30}\ln\left|3x+5\right|+C \] \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25}=\frac{1}{30}\ln\left|\frac{3x-5}{3x+5}\right|+C \] Esercizio 2
\[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta maggiore di zero, infatti si scompone facilmente in \[ x^{2}-x-6=\left(x-3\right)\left(x+2\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A e B tali che \[ \frac{1}{x^{2}-x-6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2} \] \[ \frac{1}{x^{2}-x-6}=\frac{Ax+2A+Bx-3B}{x^{2}-x-6} \] \[ \frac{1}{x^{2}-x-6}=\frac{\left(A+B\right)x+2A-3B}{x^{2}-x-6} \] Ora, visto che deve essere \[ 1=\left(A+B\right)x+2A-3B \] \[ 0x+1=\left(A+B\right)x+2A-3B \] otteniamo \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ 2A-3B=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{5}\\ B=-\frac{1}{5} \end{array}\right. \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{5}\int\frac{1}{x-3}dx-\frac{1}{5}\int\frac{1}{x+2}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{5}\ln\left|x-3\right|-\frac{1}{5}\ln\left|x+2\right|+C \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{5}\ln\left|\frac{x-3}{x+2}\right|+C \] Esercizio 3
\[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle>0 \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm7}{4}\rightarrow x_{1}=3\;,\; x_{2}=-\frac{1}{2} \] e si scompone quindi in \[ 2x^{2}-5x-3=\left(x-3\right)\left(2x+1\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A e B tali che \[ \frac{1}{2x^{2}-5x-3}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{2x+1} \] \[ \frac{1}{2x^{2}-5x-3}=\frac{2Ax+A+Bx-3B}{2x^{2}-5x-3} \] \[ \frac{1}{2x^{2}-5x-3}=\frac{\left(2A+B\right)x+A-3B}{2x^{2}-5x-3} \] Ora, visto che deve essere \[ 1=\left(2A+B\right)x+A-3B \] \[ 0x+1=\left(2A+B\right)x+A-3B \] otteniamo \[ \left\{ \begin{array}{c} 2A+B=0\\ A-3B=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{7}\\ B=-\frac{2}{7} \end{array}\right. \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3}=\frac{1}{7}\int\frac{1}{x-3}dx-\frac{1}{7}\int\frac{2}{2x+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3}=\frac{1}{7}\ln\left|x-3\right|-\frac{1}{7}\ln\left|2x+1\right|+C \] \[ \int\frac{dx}{2x^{2}-5x-3}=\frac{1}{7}\ln\left|\frac{x-3}{2x+1}\right| \]
Ciao scusa non mi è chiaro come faccio nel primo esercizio trovare A=1/10 e B=1/10. Potresti spiegarmelo per favore?
Ciao, dopo aver scomposto il denominatore in (3x-5)(3x+5), a noi interessa riscrivere la funzione in forma di somme tra razionali semplici non scomponibili, quindi ci interessa trovare due numeri (A e B) tali che:
1/[(3x-5)(3x+5)] = A/(3x-5) + B/(3x+5)
Una volta fatto il minimo comune multiplo tra i denominatori e conclusi i calcoli ci troviamo difronte ad una funzione che ha lo stesso denominatore di quella di partenza ma che ha il numeratore dipendente dai due parametri A e B.
Per l’identità tra polinomi, avendo le due funzioni lo stesso denominatore, allora anche il numeratore sarà uguale, quindi otteniamo l’equazione:
1 = (3A+3B)x + (5A-5B)
Perché sia vera è facilmente intuibile che il coefficiente di x^1 debba essere nullo e che (5A-5B), volendo il coefficiente di x^0, debba essere uguale ad 1.
Quindi possiamo risolvere il sistema lineare composto dalle equazioni { [3A+3B=0], [5A-5B=1] }.
Dunque risolviamo il sistema, la prima equazione diventa [A = -B] e la seconda, sostituendo “-B” al posto di A diventa [-5B-5B=1].
Abbiamo quindi ottenuto che [A = -B] e che [B=-1/10].
Si ottiene infine che A=1/10 e che B=-1/10.
non mi è chiaro come si determinano i coefficienti A e B
ciao scusa volevo sapere nel 1° esercizio come arrivi a 1/10. mi potresti gentilmente mettere tutti i passaggi ? grazie
Ciao, scusa volevo chiedere un chiarimento: nell’es.3 anzichè scomporre il polinomio in (x-3)(2x+1) lo avessi scomposto in (2x-6)(x+1/2) sarebbe stato comunque giusto il risultato finale? In pratica anzichè moltiplicare la a(2) del trinomio per (x+1/2) come hai fatto tu, l’ho moltiplicata per (x-3).
Ciao Albert!
Es n°1
Ora, visto che deve essere
1= ….
0x+1=…
perché deve essere 1 = .. e 0x+1=.. ?? grazie
Non riesco a capire nell esercizio 3 lo svolgimento del sistema dal quale esce 1/7 e -2/7
Grazie :)
vedi commento 9a
Buongiorno!
Ma il Delta del terzo esercizio a me viene diverso, ovvero (5+(-)1)/2 e non (5+(-)7)/2… la formula non è (-b +(-)(b^2-4ac))/2?
Grazie!
ti sei dimenticata di considerare il MENO del -3
(dimenticatO, scusa…)
no, hai dimenticato al denominatore 2*a, infatti la formula è: X1,2 = (-b + o – radice quadrata di delta) / 2*a , e non solo fratto due
Infatti il delta dovrebbe uscire x+3/2 e x+1 …
salve, mi chiedevo perchè 5A-5B non è raccolto come 5(A-B) e gentilmente mi potrebbe spiegare i sistemi? la rngrazio per il suo tempo, il suo sito mi è molto utile.
– puoi anche raccogliere, non cambia nulla
– per esempio trovi A in funzione di B dalla prima equazione, e lo sostituisci nella seconda. Così trovi B dalla seconda. Poi, sostituendo il valore di B, trovi A dalla prima.
buogiorno.. scusi mi puo spiegare riguardo l esercizio 1 l ultimissimo passaggio? come si arriva a 1 trentesimo ln del modulo di 3x -5 fratto 3x + 5 .. grazie.. ps ottimo sito complimenti
Grazie!
Raccolgo 1/30 e poi utilizzo la proprietà dei logaritmi: una differenza di log con stessa base è uguale al log che ha per base la stessa base e argomento il quoziente tra gli argomenti
Ciao ho un dubbio riguardo al terzo esercizio.. la formula risolutiva generale per questo tipo di integrali è A/a(x-x1) + B/(x-x2) giusto? Quindi l’integrale andrebbe svolto come A/2(x-3) + B/(2x+1) o sbaglio? Grazie in anticipo
Si però la seconda soluzione è -1/2, quindi ottieni:
A/(2(x-3)) + B/(x+1/2)
e se segui questa strada il risultato viene giusto lo stesso. Io ho invece fatto:
A/(x-3) + B/(2(x+1/2))=
= A/(x-3) + B/(2x+1)
Io ho svolto con x+1\2 ma il risultato non è lo stesso mi viene A= 2\7 e B=-2\7
scusa l’ignoranza…perchè al n.1 tira fuori 1/3 dall’integrale?grazie anticipatamente
Ho bisogno di un 3 dentro al numeratore (derivata del denominatore) e allora moltiplico fuori per 1/3 (in modo che comunque 1/3 *3= 1 e scrivo un integrale equivalente)
buongiorno. nell’es 3 come si fa a trovare i valori 1/7 e -2/7? in special modo come si trova il 7 al denominatore? grazie
Risolvendo il sistema al passaggio precendente. Dalla prima ottieni:
B=-2A
che sostituita nella seconda fornisce:
A-3(-2A)=1
A+6A=1
7A=1 –> A=1/7
B=-2A=-2(1/7)=-2/7
Ciao posso chiedere una cosa?
Ho un integrale così composto:
∫1/(x-3)^2
come posso risolverlo?
grazie mille
Ho risolto!
Spiego perchè può sempre servire a qualcuno.
Ho visto ∫1/(x-3)^2 come ∫(x-3)^-2
quindi l’integrale è (x-3)^(-2+1)/-2+1 => (x-3)^-1/-1 = 1/x-3
Saluti
Perfetto, ma occhio che hai dimenticato un meno nell’ultimo passaggio: il risultato è -1/x-3 +C ;)
1=(A+B)x+2A-3B perchè, facendo riferimento al passaggio precedente, il numeratore della frazione al primo membro (1) dev’essere uguale al numeratore della frazione al secondo membro ((A+B)x+2A-3B), visto che le frazioni sono uguali e hanno lo stesso denominatore.
Ora torniamo a 1=(A+B)x+2A-3B: Il coefficiente di x al primo membro è 0 (la x non c’è) per cui 0 dev’essere uguale ad (A+B) che è il coefficiente della x al secondo membro. Il termine noto al primo membro è 1 e dev’essere uguale al termine noto del secondo membro (2A-3B).
In questo modo hai 2 equazioni in 2 incognite, che trovi facilmente risolvendo il sistema.
può spiegarmi perchè nell’esercizio 2 pone:
1=(A+B)x+2A-3B
0x+1=(A+B)x+2A-3B
e poi fino ad arrivare che A=1/5 e B=-1/5 ??
Si hai ragione, ho modificato, grazie!
Scusa ma.. nell’esercizio 3, la derivata del secondo denominatore (2x+1) non è =1, quindi non si può scrivere ln|…| ma bisogna portare il 2 di -2/7 all’interno.. e così verrebbe:
1/7ln|x-3/2x+1| + C…
Scusate se mi sono sbagliato..
Grazie del chiarimento:)
Affermativo, in particolare puoi scomporre come (x-3)(2x+1)
Nell’esercizio 3 la scomposizione di 2x^2-5x-3 non dovrebbe essere
2(x-3)(x+1/2) invece di (x-3)(x+1/2)?
In caso affermativo come ci comportiamo con il 2?