Massimi e minimi – Problema 22

Data la retta di equazione \[ \frac{x}{m}+\frac{y}{m-1}=1 \] determinare m in modo che l’area del quadrato avente per lato il segmento intercettato sulla retta dagli assi sia minima.

Soluzione

Chiamiamo A e B le intersezioni della retta con gli assi cartesiani, e determiniamone le coordinate in funzione di m: \[ x=0\rightarrow y=m-1\rightarrow A\left(0;m-1\right) \] \[ y=0\rightarrow x=m\rightarrow B\left(m;0\right) \] La lunghezza del segmento AB risulta \[ \overline{AB}=\sqrt{\left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}+\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}} \] Andando a sostituire le coordinate otteniamo AB in funzione della sola variabile m: \[ \overline{AB}\left(m\right)=\sqrt{\left(m-1-0\right)^{2}+\left(0-m\right)^{2}} \] \[ \overline{AB}\left(m\right)=\sqrt{2m^{2}-2m+1} \] L’area cercata in funzione di m varrà quindi \[ f=Area=\overline{AB}^{2} \] \[ f\left(m\right)=2m^{2}-2m+1 \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(m\right)=4m-2 \] Studiamone il segno: \[ f’\left(m\right)\geq0\rightarrow m\geq\frac{1}{2} \] Abbiamo trovato l’intervallo di m per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(m) è crescente per m maggiore di 1/2, decrescente per m minore di 1/2, ha quindi un minimo per \[ m=\frac{1}{2} \] e l’area minima vale \[ f\left(m\right)=\frac{1}{2} \]

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