Quesito 2 – Testo e soluzione – Maturità 2012 Scientifico PNI

Testo
Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

Soluzione

2012_pni_quesito2_fig1

\(\textbf{Fig. 1.}\)

In Fig. 1 sono mostrate le posizioni permesse \((A,B,C)\) e una posizione in cui la moneta è sovrapposta alla mattonella \(D.\) Per calcolare la probabilità che la moneta cada in una zona permessa consideriamo una porzione equilatera della mattonella stessa: \(\triangle PST\) (Fig.2). L’area in giallo è la zona permessa poichè la moneta, per non essere considerata sovrapposta al bordo, deve avere il suo centro ad una distanza maggiore \(A\) o uguale \(B,C\) dai confini della mattonella.

2012_pni_quesito2_fig2
\(\textbf{Fig. 2.}\)Porzione equilatera di una mattonella.

A questo punto la probabilità è espressa come
\[
p=\frac{\mathcal{A}(\triangle QPR)}{\mathcal{A}(\triangle SPT)}
\]
dove
\[
\mathcal{A}(\triangle SPT)=\frac{1}{2}\overline{ST}\cdot\overline{PH}=\frac{1}{2}l\cdot l\sin 60^\circ=l^2\frac{\sqrt{3}}{4}
\]
e
\[
\mathcal{A}(\triangle PQR)=\frac{1}{2}\overline{QR}\cdot\overline{PB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}l-r\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}l-r\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}l-r\right)^2.
\]
Sostituendo \(r=d/2\) e \(l\) si ottiene
\[
p\approx0,7496.
\]

 

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