Quesito 7 – Testo e soluzione – Maturità 2013 Scientifico PNI

Quesito7

In un gruppo di \( 10 \) persone il 60% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Quale è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri ?

Soluzione
La probabilità di scegliere casualmente due persone che non abbiano gli occhi azzurri può essere espressa come composizione di \( p_1 \) per \( p_2 \) , dove:
P1 è la probabilità che la prima persona scelta non abbia gli occhi azzurri
P2 è la probabilità che la seconda persona scelta non abbia gli occhi azzurri.

Poiché le persone con gli occhi azzuri sono sei su dieci, \( p_1 = \frac {4}{10} \).
Una volta estratta una persona con gli occhi non azzurri, il rimanente gruppo si compone di 9 persone, di cui 6 hanno gli occhi azzurri. Dunque \( p_2 = \frac{3}{9} \). Pertanto \( p = p_1 p_2 = \frac {4}{10} \frac{3}{9} = \frac{2}{15} = 13,3 \% \)

Il quesito può essere risolto anche col concetto di combinazione.
Il numero di tutte le possibili coppie di persone che si possono selezionare dal gruppo è infatti dato dalle combinazioni semplici di 10 oggetti presi a 2 a 2, vale a dire:
\[
C_(10,2) = \binom{10}{9}=\frac{10 * 9}{2}= 45.
\]
Tra queste, il numero di coppie di persone senza occhi azzurri è dato dalle combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2, cioè:
\[
C_(4,2) = \binom{4}{2}=\frac{4 *3}{2}= 6.
\]
Poichè la selezione è casuale, tutti i casi si possono considerare equiprobabili, e si può applicare la definizione classica di probabilità:
\[
p= \frac{C_{(4,2)}}{C_{(10,2)}} = 0,13333
\]

 

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