Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Funzioni esponenziali

 

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Studiamo la funzione

[
f(x)=x^{frac{3}{5-4x}}
]

Dominio, asintoti e simmetrie

[
5-4xneq 0rightarrow x neqfrac{5}{4}
]
[
mathcal{D}: left(-infty; frac{5}{4}right)bigcupleft(frac{5}{4};+inftyright)
]

Non sono presenti simmetrie evidenti.

Comportamento agli estremi del dominio
[
lim_{xto frac{5}{4}^-}xe^{frac{3}{5-4x}}=frac{5}{4}e^{frac{3}{0^+}}=frac{5}{4}e^{+infty}=+infty
]
[
lim_{xto frac{5}{4}^+}xe^{frac{3}{5-4x}}=frac{5}{4}e^{frac{3}{0^-}}=frac{5}{4}e^{-infty}=0
]
(x=frac{5}{4}) Asintoto verticale (sinistro)
[
lim_{x to -infty}xe^frac{3}{5-4x}=-infty e^0=-infty
]

Non esiste l’asintoto orizzontale, potrebbe esistere l’asintoto obliquo (y=mx+q).

Ricerco (m):
[
m=lim_{xto pm infty} frac{f(x)}{x}=lim_{xto -infty}frac{xe^{frac{3}{5-4x}}}{x}=lim_{x to -infty}e^{frac{3}{5-4x}}=e^0=1
]
Ricerco (q):

[
q=lim_{x topm infty}f(x)-mx=lim_{x to-infty}xe^{frac{3}{5-4x}}-x=lim_{xto -infty}x left(e^{frac{3}{5-4x}}-1right)=-inftycdot 0 hspace{5 mm}text{Forma indeterminata}
]

Bisogna operare in modo tale da poter ricondurre il limite in una forma nota.
Si procede per sostituzione, quindi si pone

[
t=frac{3}{5-4x} hspace{5mm}text{se}hspace{3mm}xrightarrow – infty hspace{5mm}t rightarrow0^+
]
Si ricava (x)

[
frac{5-4x}{3}=frac{1}{t} hspace{3mm}rightarrowhspace{3mm} 5-4x=frac{3}{t}hspace{3mm} rightarrowhspace{3mm} 4x=frac{5t-3}{t}hspace{3mm}rightarrowhspace{3mm} 4tx=5t-3 hspace{3mm}rightarrowhspace{3mm} x=frac{5t-3}{4t}
]

Si può ora scrivere il limite in questo modo

[
q=lim_{tto 0^+}frac{5t-3}{4t}left(e^t -1right)=lim_{tto 0^+}frac{5t-3}{4}cdot lim_{t to 0^+}frac{e^t -1}{t}=-frac{3}{4}
]

dove (lim_{t to 0^+}frac{e^t -1}{t} ) è un limite notevole e vale 1.
Del tutto analogo è il procedimento per (x rightarrow +infty ). Quindi (y=x-frac{3}{4}) è asintoto obliquo.

Segno della funzione

[
f(x)>0 hspace{5mm}rightarrowhspace{5mm} xe^{frac{3}{5-4x}}>0 text{per} hspace{5mm} x>0
]

Significa che la funzione è positiva e negativa negli intervalli (I_p) e (I_n) rispettivamente.

[
I_p left(0;frac{5}{4}right)bigcupleft(frac{5}{4};+inftyright), hspace{3mm} I_n left(-infty;0right)
]

Intersezione con gli assi

[
f(0)=0
]
[
f(x)=0 hspace{3mm}text{per}hspace{3mm}x=0.
]

La funzione, quindi, interseca gli assi all’origine (O(0,0))

Punti di massimo, minimo e flesso

begin{align*}
f'(x)&=e^{frac{3}{5-4x}}+e^{frac{3}{5-4x}}cdotfrac{12}{(5-4x)^2}=\
&=e^{frac{3}{5-4x}}+frac{12xe^{frac{3}{5-4x}}}{(5-4x)^2}=\
&=frac{(5-4x)^2 e^{frac{3}{5-4x}}+12xe^{frac{3}{5-4x}}}{(5-4x)^2}=\
&=e^{frac{3}{5-4x}}left[(5-4x)^2 +12xright]=\
&=frac{e^{frac{3}{5-4x}}(16x^2 -28x+25)}{(5-4x)^2}
end{align*}
[
f'(x)=0 hspace{5mm} e^{frac{3}{5-4x}}(16x^2 -28x+25)=0 hspace{3mm}text{mai verificata}
]

La derivata prima non si annulla mai, dunque la funzione non possiede punti di massimo o di minimo.

begin{align*}
&f'(x)>0 hspace{5mm} e^{frac{3}{5-4x}}hspace{2mm}forall xin D
&(16x^2 -28x+25)>0 hspace{2mm}forall x in D
&(5-4x)^2>0 hspace{2mm }forall xin D
end{align*}

Bisogna ora determinare eventuali punti di flesso e le concavità.
Svolgendo i calcoli si ottiene
[
f”(x)=frac{24e^{frac{3}{5-4x}}(25-14x)}{(4x-5)^4}hspace{3mm}rightarrowhspace{3mm}f”(x)=0 hspace{1mm} text{per}hspace{1mm} x=frac{25}{14}
]

Si ha quindi un punto di flesso a tangente obliqua in (Fleft(frac{25}{14};f(frac{25}{14})approx (1.78;0.44)right)).

(f”(x)>0 hspace{1 mm}text{per}hspace{1mm}x<frac{25}{14})

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