Sistemi di equazioni di primo grado

Sistemi di equazioni

• Definizione
• Sistemi di primo grado
• Sistemi di secondo grado
• Sistemi di grado superiore
• Applicazioni sui sistemi

sistemi di equazioni

Definizione Un sistema e’ un insieme di equazioni che valgono contemporaneamente

Sarebbe a dire che tutte le equazioni devono avere contemporaneamente le stesse soluzioni

Definiamo grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo costituiscono: esempio

\(x^3 + xy = 4 x^2 + xy + 4y^2= 5\) e’ un sistema di sesto grado (il polinomio che e’ associato alla prima equazione ha grado tre e quello associato alla seconda ha grado 2)

Cominciamo dai piu’ semplici: i sistemi di primo grado

sistemi di primo grado

Sistemi di primo grado Le equazioni che li compongono sono tutte di primo grado

Possiamo distinguere i sistemi di primo grado in

• Sistema di due equazioni in due incognite
• Sistema di tre equazioni in tre incognite
• Sistema di n equazioni in n incognite
• Sistema di k equazioni in n incognite

sistemi di primo grado di due equazioni a due incognite

Sistemi di primo grado di due equazioni a due incognite Risolvere un sistema significa trovare la coppia di valori x e y che, sostituita alle incognite, rende le equazioni delle identita’

Come prima cosa bisogna ridurre il sistema in forma normale, cioe’ mettere i termini con la x e con la y prima dell’uguale ed i termini noti dopo l’uguale

• Soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite
• Sistema possibile, impossibile, indeterminato
• Significato geometrico di un sistema
• Esercizi

Sistema ridotto a forma normale

Sistema ridotto a forma normale Se ho un sistema tipo il seguente

\(x + 3y -6 = 6 - x x - 2y = 7 - 2x - y\) prima di risolvere il sistema devo metterlo in forma normale cioe’ mettere i termini con la x e con la y prima dell’uguale ed i termini noti dopo l’uguale porto le x e y prima dell’uguale e gli altri numeri dopo l’uguale

\(x + x + 3y = 6 + 6 x + 2x - 2y + y = 7\) eseguo i calcoli

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7\) Questo sistema e’ ridotto a forma normale od ora posso risolverlo

Da notare che i calcoli per ridurre il sistema a forma normale possono essere resi anche molto difficili. Quindi il difficile non e’ risolvere un sistema, ma ridurlo a forma normale.

soluzione di un sistema di primo
grado di due equazioni a due incognite

Soluzione di un sistema di primo grado di due equazioni a due incognite

Nelle prossime pagine vedremo la soluzione di un sistema (sempre lo stesso) con i vari metodi noti; i piu’ usati per due equazioni con due incognite sono il metodo di sostituzione ed il metodo di addizione, il metodo di Cramer offre invece un metodo che sara’ la base per risolvere anche sistemi di piu’ equazioni a piu’ incognite

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7\)

• Metodo di sostituzione
• Metodo di addizione
• Metodo di confronto
• Metodo di Cramer

metodo di sostituzione

Se hai bisogno di una spiegazione piu’ approfondita

Dobbiamo risolvere

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7\) In entrambe le equazioni la x e la y devono avere lo stesso valore, allora posso ricavare da una delle due equazioni il valore della x (o della y) e sostituirla alla x (alla y) nell’ altra equazione. In questo modo ottengo un’equazione in una sola incognita che so risolvere.

Sostituire x od y e’ indifferente e dipende dal sistema: nel nostro caso conviene ricavare la y dalla seconda equazione e sostituirla nella prima

Io faro’ tutti i passaggi; tu puoi abbreviare

Isolo la y nella seconda equazione

\(2x + 3y = 12 -y = 7 - 3x\) cambio di segno

\(2x + 3y = 12 y = -7 + 3x\) Sostituisco il valore della y nella prima equazione. Senza scrivere la seconda equazione si mette una linea per indicare che c’e’

\(2x + 3(-7 + 3x) = 12 ---------------------\) Eseguo i calcoli

\(2x - 21 + 9x = 12 ---------------------\) porto il numero dopo l’uguale

\(2x + 9x = 12 + 21 ---------------------\) Sommo

\(11x = 33 ---------------------\) Ricavo x dividendo per 11 prima e dopo l’uguale

\(11x/11 = 33/11 ---------------------\) Trovo la soluzione ed ora riscrivo la seconda equazione

\(x = 3 y = -7 + 3x\) Nell’equazione di sotto al posto di x sostituisco il valore trovato

x = 3 y = -7 + 3·3

\(x = 3 y = -7 + 9\)

\(x = 3 y = 2\)

Verifica Ora controllo se ho fatto giusto sostituendo nel sistema di partenza ad x ed y i valori trovati

2·3 + 3·2 = 12 3·3 – 2 = 7

\(6 + 6 = 12 9 - 2 = 7\) Ho ottenuto delle uguaglianze vere quindi ho fatto tutto giusto

Per risolvere un sistema col metodo di sostituzione: ricavo la variabile da una delle due equazioni (la piu' facile) e la sostituisco nell'altra equazione questa diventa ad una sola incognita e la risolvo. Una volta trovata l'incognita la sostituisco nella prima equazione e trovo il valore dell'altra incognita

Questo metodo viene usato preferibilmente quando abbiamo equazioni letterali, ma bisogna decidere caso per caso fra questo ed il metodo di Cramer

Metodo di sostituzione Risolviamo il sistema generico

\(ax + by = c dx + ey = f\) ove a, b, c, d, e, f sono numeri dati isolo il termine con x nella prima equazione

\(ax = - by + c dx + ey = f\) ricavo la x

\(x = (- by + c)/a dx + ey = f\) Sostituisco nella seconda equazione alla x il valore trovato

\(x = (- by + c)/a d(-by + c)/a + ey = f\) Al posto della prima equazione metto una linea. Nella seconda moltiplico

\(------------------ (-bdy + cd)/a + ey = f\) ora faccio il minimo comune multiplo

—————— -bdy + cd + aey af ——————- = —- a a Tolgo i denominatori

\(------------------ -bdy + cd + aey = af\) termini con y prima dell’uguale (metto prima i positivi), termini senza y dopo l’uguale

\(------------------ aey - bdy = af - cd\) metto in evidenza y

\(------------------ y(ae - bd) = af - cd\) Ricavo y dividendo il termine dopo l’uguale per il coefficiente della y

\(------------------ af - cd y = -------- ae - bd\) Devo sostituire questo valore nell’equazione sopra (rappresentata dalla linea). Da questo punto anche se e’ un errore, per semplicita’, ometto la parentesi graffa \(- by + c x = -------- a\) Sostituisco af – cd -b ———– + c ae – bd x = ——————- a Moltiplico sopra -abf + bcd ————– + c ae – bd x = ——————- a minimo comune multiplo sopra -abf + bcd + ace – bcd ————————— ae – bd x = ———————————- a Sommo e scrivo prima i positivi ace – abf ——————– ae – bd x = ————————- a Moltiplico il numeratore per l’inverso del denominatore ace – abf 1 x = ————- · — ae – bd a Raccolgo a al numeratore per semplificarlo con la a al denominatore a(ce – bf) 1 x = ————- · — ae – bd a Semplifico \(ce - bf x = -------- ae - bd\) Quindi la soluzione del sistema sara’

ce – bf x = ——– ae – bd af – cd y = ——– ae – bd Se vuoi risolvere un sistema puoi anche usare questa come formula risolutiva

metodo di addizione

Se hai bisogno di una spiegazione piu’ approfondita

Dobbiamo risolvere

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7\) Nel metodo di addizione e sottrazione cerco di rendere uguale e di segno contrario nelle due equazioni il termine che contiene la y (successivamente faro’ la stessa cosa per la x) Per farlo moltiplico le equazioni (e’ possibile farlo per il secondo principio di equivalenza delle equazioni

Moltiplico la seconda equazione per 3 in modo da avere lo stesso termine in y ma col segno cambiato

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7 (3)\)

\(2x + 3y = 12 9x - 3y = 21\) Ora sommo in verticale e mi sparisce il termine in y

\(2x + 3y = 12 9x - 3y = 21 --------------------- 11x // = 33\) Divido per 11 da entrambe le parti \(11 33 ---x = --- 11 11\) e trovo la x \(x = 3\) Per trovare la y devo mandare via la x quindi moltiplico la prima equazione per +3 e la seconda per -2. In questo modo le x diventano uguali e di segno contrario

\(2x + 3y = 12 (+3) 3x - y = 7 (-2)\)

\(6x + 9y = 36 -6x + 2y = -14\) Ora sommo in verticale e mi sparisce il termine in x

6x + 9y = 36 -6x + 2y = -14 ——————— // 11y = 22 Divido per 11 da entrambe le parti \(11 22 ---y = --- 11 11\) e trovo la y \(y = 2\) Quindi il risultato e’

\(x = 3 y = 2\) Ora dovremmo verificare il sistema ma l’abbiamo gia’ fatto dopo la soluzione col metodo di sostituzione

Per risolvere un sistema col metodo di addizione: moltiplico una od entrambe le equazioni in modo da avere i termini con la x uguali e di segno contrario sommo le equazioni: ottengo un'equazione con la sola y e la risolvo; trovo la y moltiplico una od entrambe le equazioni in modo da avere i termini con la y uguali e di segno contrario sommo le equazioni: ottengo un'equazione con la sola x e la risolvo; trovo la x Scrivo la parentesi graffa con la x al primo posto e la y al secondo posto

Per la sua immediatezza questo metodo e’ il piu’ usato quando le equazioni sono numeriche

Qualche insegnante preferisce spiegare il metodo detto di addizione e sottrazione : l’unica differenza con questo spiegato e’ che moltiplichi sempre per un numero positivo dopodiche’ se i termini sono uguali ma di segno contrario fai la somma mentre se sono uguali e con lo stesso segno devi fare la differenza termine a termine. Se non stai molto attento, e’ facile sbagliare un segno. Se vuoi vedere un esempio con lo stesso sistema che abbiamo appena risolto

metodo di confronto

Metodo di addizione Risolviamo il sistema generico

\(ax + by = c dx + ey = f\) ove a, b, c, d, e, f sono numeri dati Devo rendere uguali i termini con la x (anche qui si puo’ parlare di minimo comune multiplo) Moltiplico la prima equazione per d e la seconda per -a

adx + bdy = cd (d) -adx – aey = -af (-a) Sommo termine a termine

adx + bdy = cd -adx – aey = -af ————————— // bdy-aey = cd-af Metto in evidenza y \(y(bd - ae) = cd - af\) Ricavo y \(cd - af y = ---------- bd - ae\) Cambiando di segno sopra e sotto e’ equivalente a scrivere \(af - cd y = ---------- ae - bd\)

Di solito, nelle lettere, si cerca di mettere prima le prime lettere dell’alfabeto, inoltre il primo termine si cerca sempre di farlo diventare positivo (in questo modo posso non scrivere un segno)

Ora devo rendere uguali i termini con la y; moltiplico sopra per e e sotto per b

aex + bey = ce (e) -bdx – bey = -bf (-b) Sommo termine a termine

aex + bey = ce -bdx – bey = -bf ————————— aex-bdx // = ce-bf Metto in evidenza x \(x(ae- bd) = ce - bf\) Ricavo y \(ce - bf x = ---------- ae - bd\) Quindi il risultato finale e’

ce – bf x = ——– ae – bd af – cd y = ——– ae – bd

metodo di addizione e sottrazione

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7\) Nel metodo di addizione e sottrazione cerco di rendere uguale nelle due equazioni il termine che contiene la y (successivamente faro’ la stessa cosa per la x). Per farlo moltiplico le equazioni (e’ possibile farlo per il secondo principio di equivalenza delle equazioni

Moltiplico la seconda equazione per 3 in modo da avere lo stesso termine in y ma col segno cambiato (questa parte e’ identica al metodo di addizione)

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7 (3)\)

\(2x + 3y = 12 9x - 3y = 21\) Ora sommo in verticale e mi sparisce il termine in y

\(2x + 3y = 12 9x - 3y = 21 --------------------- 11x // = 33\) Divido per 11 da entrambe le parti \(11 33 ---x = --- 11 11\) e trovo la x \(x = 3\) Per trovare la y devo mandare via la x quindi moltiplico la prima equazione per 3 e la seconda per 2. In questo modo le x diventano uguali (questa parte e’ diversa rispetto al metodo di addizione)

\(2x + 3y = 12 (3) 3x - y = 7 (2)\)

\(6x + 9y = 36 6x - 2y = 14\) Ora sottraggo in verticale e mi sparisce il termine in x

6x + 9y = 36 – – – 6x – 2y = 14 ——————— // 11y = 22 Divido per 11 da entrambe le parti \(11 22 ---y = --- 11 11\) e trovo la y \(y = 2\) Quindi il risultato e’

\(x = 3 y = 2\) Come hai visto non c’e’ una gran differenza dal sistema precedente

Se hai bisogno di una spiegazione piu’ approfondita

E’ il metodo meno utilizzato, ma talvolta viene usato Dobbiamo risolvere

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7\) Nel metodo di confronto ricavo da entrambe le equazioni la x poi metto a confronto i risultati Esplicito i termini con la x

\(2x = 12 - 3y 3x = 7 + y\) Ricavo le x

\(12 - 3y x = -------- 2 7 + y x = -------- 3\) Come prima equazione uguaglio i risultati, come seconda scelgo una qualsiasi delle due equazioni (la seconda mi sembra piu’ facile)

\(7 + y 12 - 3y -------- = -------- 3 2 7 + y x = -------- 3\) Sopra m.c.m. = 6 Sotto metto una linea

14 + 2y 36 – 9y ———– = ——– 6 6 ———————- Tolgo il denominatore

\(14 + 2y = 36 - 9y -------------------\) Porto i termini con y prima dell’uguale e quelli noti dopo l’uguale

\(9y + 2y = 36 - 14 -------------------\) Sommo

\(11y = 22 -------------------\) Ricavo la y dividendo entrambe i membri per 11 Riscrivo la seconda equazione

\(y = 2 7 + y x = -------- 3\)Sostituisco il valore 2 alla y nella seconda equazione

Potresti anche riprendere le equazioni di partenza, eguagliare le y e rifare tutto da capo, ma chi te lo fa fare?

\(y = 2 7 + 2 x = -------- 3\) Risolvo

\(y = 2 x = 3\) Metto x al primo posto ed y al secondo

\(x = 3 y = 2\) Ora dovremmo verificare il sistema ma l’abbiamo gia’ fatto dopo la soluzione col metodo di sostituzione

Per risolvere un sistema col metodo di confronto Ricavo da entrambe le equazioni la x (oppure la y) Come prima equazione eguaglio le espressioni trovate. Come seconda scelgo una delle due (la piu' facile) Risolvo la prima equazione Sostituisco il risultato nella seconda equazione e trovo il valore dell'altra variabile Scrivo la parentesi graffa con la x al primo posto e la y al secondo posto

Metodo di confronto Risolviamo il sistema generico

\(ax + by = c dx + ey = f\) ove a, b, c, d, e, f sono numeri dati isolo il termine con x nelle due equazioni

\(ax = c - by dx = f - ey\) ricavo la x da entrambe le equazioni

\(x = (c - by)/a x = (f - ey)/d\) Eguaglio i valori delle x trovati e come seconda equazione scelgo una delle due.

\(c - by f - ey ------ = -------- a d c - by x = -------- a\) Sopra faccio il minimo comune multiplo, sotto metto una linea al posto dell’equazione

cd – bdy af – aey ———– = ——– ad ad —————————- Elimino i denominatori e porto i termini con l’incognita prima dell’uguale e quelli noti dopo l’uguale

\(aey - bdy = af - cd -------------------\) Ricavo la y e riscrivo l’equazione al posto della linea

\(af - cd y = -------- ae - bd c - by x = --------- a\) Sostituisco il valore trovato nella seconda equazione e da questo punto, anche se e’ un errore, per semplicita’, ometto la parentesi graffa \(c - by x = -------- a\) Sostituisco af – cd c – b ———– ae – bd x = ———————– a Moltiplico sopra per -b (cosi’ resta il segno +) -abf + bcd c + ————– ae – bd x = ———————— a minimo comune multiplo sopra ace – bcd – abf + bcd ————————— ae – bd x = ———————————- a Sommo e scrivo prima i positivi ace – abf ——————– ae – bd x = ————————- a Moltiplico il numeratore per l’inverso del denominatore ace – abf 1 x = ————- · — ae – bd a Raccolgo a al numeratore per semplificarlo con la a al denominatore a(ce – bf) 1 x = ————- · — ae – bd a Semplifico \(ce - bf x = -------- ae - bd\) Quindi, riscrivendo la graffa, la soluzione del sistema sara’

ce – bf x = ——– ae – bd af – cd y = ——– ae – bd

metodo di Cramer

Se hai bisogno della dimostrazione del metodo, altrimenti in questa pagina ti verra’ spiegato solo il come fare

Dobbiamo risolvere

\(2x + 3y = 12 3x - y = 7\) Nel metodo di Cramer scrivo i coefficienti del sistema in una tabella (matrice)

\(2 3 12 3 -1 7\)

La prima colonna contiene i coefficienti della x, la seconda i coefficienti della y e la terza i termini noti In entrambe le soluzioni considerero’ al denominatore il seguente numero detto determinante (ho preso le prime due colonne)

\(2 3 3 -1\)

E’ un numero e per calcolarlo devo fare il prodotto fra il primo e l’ultimo termine meno il prodotto fra il secondo ed il terzo

\(2 3 3 -1\)

= 2·(-1) – 3·3 = -2 – 9 = -11

Per trovare la x devo prendere il determinante considerato, cancellare la colonna delle x e al suo posto mettere i termini noti

\(12 3 7 -1\)

= 12·(-1) – 3·7 = -12 – 21 = -33

Per calcolare il valore della x devo scrivere al denominatore il determinante ottenuto dalle prime due colonne ed al numeratore cancello la colonna delle x ed al suo posto metto i termini noti

\(12 3 7 -1\)

12·(-1) – 3·7 -12 – 21 -33

x = ————— = ————– = ———- = —— = 3

\(2 3 3 -1\)

2·(-1) – 3·3 -2 – 9 -11

Per calcolare la y metto al denominatore le prime due colonne mentre al numeratore cancello la colonna delle y e ci metto i termini noti

\(2 12 3 7\)

2·(7) – 12·3 14 – 36 -22

y = ————— = ————— = ———- = —— = 2

\(2 3 3 -1\)

2·(-1) – 3·3 -2 – 9 -11

Quindi ottengo

\(x = 3 y = 2\)

Per risolvere un sistema col metodo di Cramer Scrivo la matrice del sistema Calcolo il determinante delle prime due colonne per la x scrivo al denominatore il determinante trovato ed al numeratore riscrivo il determinante mettendo al posto della colonna delle x i termini noti per la y scrivo al denominatore il determinante trovato ed al numeratore riscrivo il determinante mettendo al posto della colonna delle y i termini noti Scrivo la parentesi graffa con la x al primo posto e la y al secondo posto

E’ uno dei metodi piu’ utilizzati soprattutto per i sistemi letterali

calcolo del determinante

Calcolo del determinante dato il determinante

a b c d

a e’ al primo posto b e’ al secondo posto c e’ al terzo posto d e’ al quarto posto Per calcolarlo devo moltiplicare il primo termine per il quarto meno il secondo per il terzo

a b c d

= a·d – b·c = ad – bc

Cerchiamo di capire come si arriva al metodo di Cramer

Dobbiamo partendo dal sistema

\(ax + by = c dx + ey = f\) arrivare alla soluzione

\(ce - bf x = -------- ae - bd af - cd y = -------- ae - bd\) Notiamo che nelle soluzioni compaiono solo i coefficienti numerici del sistema; li scrivo in ordine come sono

a b c d e f

Ora al denominatore sia della x che della y compare il valore ae – bd formato dai valori delle prime due colonne: allora estraggo le prime due colonne

a b d e

perche’ questo diventi uguale ad ae – bd dovro’ definirlo come prodotto fra il primo e il quarto termine meno il secondo per il terzo

a primo termine b secondo termine

d terzo termine e quarto termine

a b d e

= a·e – b·d = ae – bd

Ora passiamo a controllare la x: al numeratore il risultato vale ce – bf quindi coinvolge la seconda e la terza colonna

b c e f

Pero’ se calcoliamo come prima ci viene il segno sbagliato:

b c e f

= b·f – c·e = bf – ce (invece di ce – bf)

Ma per avere il segno giusto basta scambiare le colonne

c b f e

= c·e – b·f = ce – bf

Allora per avere il segno giusto diciamo che prendiamo il determinante delle prime due colonne e eliminiamo la colonna delle x ed al suo posto mettiamo la colonna dei termini noti

Nel nostro caso basterebbe dire che cambio segno, pero’ siccome questo metodo sara’ usato anche con tre, quattro,.. n equazioni quello che ho scritto andra’ bene in generale

E il valore della x sara’ dato da

c b f e

c·e – b·f ce – bf

x = ————- = ————– = ———-

a b d e

a·e – b·d ae – bd

Lo stesso ragionamento varra’ per la y: al denominatore mettero’ le prime due colonne ed al numeratore eliminero’ la colonna delle y ed al suo posto mettero’ la colonna dei termini noti

a c d f

a·f – c·d af – cd

x = ————- = ————– = ———-

a b d e

a·e – b·d ae – bd

sistema possibile, impossibile ed indeterminato

Sistema possibile, impossibile ed indeterminato E’ lo stesso discorso che ho fatto nelle equazioni: Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sui sistemi relativi a quelle frasi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminati. Vediamo di spiegarci meglio con qualche esempio:

• sistema possibile
• sistema impossibile
• sistema indeterminato

Riassumendo: posso schematizzare nel modo seguente

x = numero y = numero Sistema possibile x = numero/0 y = numero/0 Sistema impossibile x = 0/0 y = 0/0 Sistema indeterminato

Quando ho un sistema

ax + by = c a'x – b'y = c' si puo’ dire anche senza risolverlo se e’ possibile, impossibile od indeterminato osservandone i coefficienti:

a b —- —- sistema possibile a' b' a b c —- = —- —- sistema impossibile a' b' c' a b c —- = —- = —- sistema indeterminato a' b' c'

sistema possibile

Sistema possibile Il sistema e’ possibile se le sue equazioni sono compatibili nel senso che non si contraddicono ne’ si ripetono

\(x + y = 3 x - y = 1\)La somma di due numeri e' 3 e la loro differenza e' 1

Con un po’ di logica dico che i numeri sono 2 e 1: infatti 2 + 1 = 3 e 2 – 1 = 1 e le due equazioni sono compatibili Il risultato e’:

\(x = 2 y = 1\)

Osserviamo che se consideriamo i coefficienti \(1\) \(1\) \(3\)

\(1\) \(-1\) \(1\)

e faccio i rapporti i rapporti fra i primi due sono diversi (su vari esempi posso vedere che il terzo rapporto in questo caso puo’ tranquillamente essere uguale o diverso, il fatto e’ ininfluente) \(1 1 ---- -----\) sistema possibile \(1 -1\)

in generale un sistema

ax + by = c a'x – b'y = c' e’ possibile se

a b —- —- a' b'

sistema impossibile

Sistema impossibile Il sistema e’ impossibile se le sue equazioni si contraddicono fra di loro

\(x + y = 3 x + y = 1\)La somma di due numeri e' 3 e la loro somma e' 1

non e’ possibile che due numeri sommati valgano una volta 3 ed una volta 1 quindi tutto il sistema e’ impossibile Se lo risolvo col metodo di sostituzione, col metodo di addizione oppure di confronto ottengo un’ equazione impossibile mentre col metodo di Cramer otterro’

\(x = numero/0 y = numero/0\)

Che poi e’ la stessa cosa perche’ se fai il minimo comune multiplo ottieni

\(0 = numero 0 = numero\)

Osserviamo che se consideriamo i coefficienti \(1\) \(1\) \(3\)

\(1\) \(1\) \(1\)

e faccio i rapporti i primi due rapporti sono uguali tra loro ma diversi dal terzo \(1 1 3 ----- = ----- -----\) sistema impossibile \(1 1 1\)

in generale un sistema

ax + by = c a'x – b'y = c' e’ impossibile se

a b c —- = —- —- a' b' c'

sistema indeterminato

Sistema indeterminato Il sistema e’ indeterminato se le sue equazioni dicono entrambe la stessa cosa

\(x + y = 3 x + y = 3\)La somma di due numeri e' 3 e la somma degli stessi due numeri e' ancora 3

Le due equazioni dicono la stessa cosa Se lo risolvo col metodo di sostituzione, col metodo di addizione oppure di confronto ottengo 0 = 0 come in un’ equazione indeterminata mentre col metodo di Cramer otterro’

\(x = 0/0 y = 0/0\)

Che poi e’ la stessa cosa perche’ se fai il minimo comune multiplo ottieni

\(0 = 0 0 = 0\)

Osserviamo che se consideriamo i coefficienti \(1\) \(1\) \(3\)

\(1\) \(1\) \(3\)

e faccio i rapporti, tutti i rapporti sono uguali tra loro \(1 1 3 ----- = ----- = -----\) sistema indeterminato \(1 1 3\)

in generale un sistema

ax + by = c a'x – b'y = c' e’ indeterminato se

a b c —- = —- = —- a' b' c'

Un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: infatti le soluzioni del sistema da cui siamo partiti

x + y = 3

x + y = 3

sono date dalle coppie che soddisfano l’equazione x + y = 3 cioe’, se esplicito la x x = 3 – y per ogni valore che attribuisco ad y, posso trovare il valore corrispondente per x (e viceversa se espliciti la y) se y = 2 → x = 3 – 2 = 1

x = 1

y = 2

se y = 1 → x = 3 – 1 = 2

x = 2

y = 1

se y = 42 → x = 3 – 42 = -39

x = -39

y = 42

quindi, siccome ad x posso attribuire infiniti valori, abbiamo infinite coppie che sono soluzioni del sistema

Questo talvolta viene indicato nel seguente modo (di solito si esplicita la x) x + y = 3 y = 3 – x infinite soluzioni del tipo: (x ; 3-x)

significato geometrico di un sistema

Significato geometrico di un sistema E’ possibile dare una visualizzazione geometrica di un sistema possibile, impossibile o indeterminato E’ pero’ necessario conoscere almeno i rudimenti della geometria cartesiana del piano: Nel piano l’equazione \(ax + by + c = 0\) con a, b e c numeri dati rappresenta una retta quindi il sistema

ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0 essendo a, b, c, a', b' e c' numeri dati rappresenta l’insieme di due rette nel piano cartesiano; essendo il sistema la ricerca delle soluzioni comuni alle due equazioni allora geometricamente la soluzione corrispondera’ al punto comune alle due rette e avremo che:

Se il sistema e’ possibile allora ammette una sola soluzione e le due rette avranno solo un punto in comune

[figura: retta04.jpg]

Se il sistema e’ impossibile non esistono soluzioni: le due rette non avranno nessun punto in comune, cioe’ saranno parallele

[figura: retta05.jpg]

Se il sistema e’ indeterminato allora il sistema ha infinite soluzioni, cioe’ le due rette hanno infiniti punti comuni e quindi sono coincidenti

[figura: retta06.jpg]

sistema di 3 equazioni a tre incognite

Sistema di 3 equazioni a tre incognite Vediamo ora come risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite

ax + by + cz = d a'x + b'y + c'z = d' a"x + b"y + c"z = d" essendo a, b, c, d, a', b', c', d', a", b", c" e d", numeri dati Utilizzeremo due metodi che potranno anche essere applicati a sistemi di 4,5,… equazioni in 4, 5,…. incognite

• metodo di sostituzione
• metodo di Cramer
• sistema possibile impossibile e indeterminato
• sistema omogeneo

sistema di 3 equazioni a tre incognite metodo di sostituzione

Sistema di 3 equazioni a tre incognite: metodo di sostituzione Si tratta di adattare il metodo di sostituzione gia’ visto per il sistema di due equazioni a due incognite Sceglieremo un’equazione per ricavare una incognita e sostituiremo il suo valore nelle altre due equazioni; in questo modo avremo due equazioni in due incognite e procederemo come gia’ visto

Vediamo ora su un esempio come risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite

x + y + z = 6 2x + y – z = 1 2x – 3y + z = -1 Ricavo la z dalla prima equazione e sostituisco nella seconda e nella terza (posso ricavare chi mi pare)

z = 6 – x – y 2x + y – (6 – x – y) = 1 2x – 3y + 6 – x – y = -1 al posto della prima equazione metto una linea (cosi’ non la uso piu’ sino alla fine)

———————- 2x + y – 6 + x + y = 1 2x – 3y + 6 – x – y = -1 Porto i numeri dopo l’uguale e poi sommo

\(-------------- 3x + 2y = 7 x - 4y = -7\) Da notare che ho un sistema di due equazioni in due incognite ora ricavo la x dalla terza equazione

\(-------------- 3x + 2y = 7 x = 4y -7\) sostituisco il valore della x trovato nella seconda equazione

\(-------------- 3(4y - 7) + 2y = 7 x = 4y -7\) eseguo la moltiplicazione (nella terza equazione metto una linea)

\(-------------- 12y - 21 + 2y = 7 --------------\)

\(-------------- 14y = 21 + 7 --------------\)

\(-------------- 14y = 28 --------------\) Divido per 14 prima e dopo l’uguale

\(-------------- y = 2 --------------\) ora riscrivo le equazioni al posto delle linee

\(z = 6 - x - y y = 2 x = 4y -7\) sostituisco ad y il valore trovato

\(z = 6 - x - 2 y = 2 x = 4(2) -7\)

\(z = 4 - x y = 2 x = 8 -7\)

\(z = 4 - x y = 2 x = 1\) ora sostituisco anche la x nella prima equazione

\(z = 4 - 1 y = 2 x = 1\)

\(z = 3 y = 2 x = 1\) Ordino ed ottengo il risultato finale

x = 1 y = 2 z = 3

Avrai notato che questo metodo e’ piuttosto lungo e noioso e, se non stai attento a sostituire bene, puo’ portare facilamente ad errori e quindi sara’ usato piuttosto raramente: solitamente si preferisce usare il metodo di Cramer

sistema di 3 equazioni a tre incognite metodo di Cramer

Sistema di 3 equazioni a tre incognite: metodo di Cramer Anche qui i tratta di adattare il metodo di Cramer gia’ visto per il sistema di due equazioni a due incognite Prima pero’ di passare ad un esercizio apriamo una parentesi per parlare delle matrici del sistema e dei determinanti che dovremo calcolare

Vedremo piu’ in generale l’argomento nel capitolo specifico di matrici e determinanti –fare link–

• Matrici del sistema
• Il determinante 3×3
• Calcolo del determinante col metodo normale
• Calcolo del determinante con la regola di Sarrus
• Soluzione del sistema

matrici di un sistema di 3 equazioni in tre incognite

Matrici del sistema

Il concetto di matrice e’ prezioso, perche’ ci permette di trattare “oggetti matematici” le cui componenti non siano tra loro sommabili come ad esempio Le coordinate di un punto nello spazio ad n dimensioni le componenti di un vettore i termini di un polinomio ordinato Esse nascono con i sistemi ma diventano presto uno dei punti di forza della matematica, ne riparleremo in seguito

Consideriamo il sistema generico di tre equazioni nelle tre incognite x, y e z

\(a_{1,1} x + a_{1,2} y + a_{1,3} z = b_1 a_{2,1} x + a_{2,2} y + a_{2,3} z = b_2 a_{3,1} x + a_{3,2} y + a_{3,3} z = b_3\) Chiameremo matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) la matrice 3×3 (tre righe e tre colonne) i cui termini sono i coefficienti delle incognite:

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

Chiameremo invece matrice completa la matrice 3×4 (tre righe quattro colonne) ottenuta dalla matrice precedente aggiungendovi la colonna dei termini noti: Da notare che tale matrice rappresenta completamente il sistema

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

La matrice e’ solamente una tabella: per eseguire i calcoli dovremo considerare il determinante associato alla matrice e questo sara’ possibile solamente per le matrici quadrate (tante righe quante colonne)

il determinante 3×3

\(Il determinante 3x3\) Presa la matrice

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

il determinante associato sara’ indicato come:

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

Per vedere come calcolarlo introduciamo la nozione di complemento algebrico prima definiamo il complemento e poi il complemento algebrico Definiamo complemento C\(_{_{i,j}}\) di un elemento qualunque a\(_{_{i,j}}\) il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l’elemento in questione

\(a_{i,j} indica semplicemente uno degli elementi della matrice, siccome ne posso prendere uno qualunque metto a_{i,j} per indicare un elemento generico\)

Ad esempio calcoliamo il complemento di a\(_{_{2,2}}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(=\)

\(a_{1,1} a_{1,3} a_{3,1} a_{3,3}\)

\(= C_{2,2}\)

elimino la riga e la colonna dove c’e’ a\(_{_{2,2}}\) (elimino gli elementi in blu) ed ottengo il complemento C\(_{_{2,2}}\) di a\(_{_{2,2}}\) Passiamo ora alla nozione di complemento algebrico Definiamo complemento algebrico (-1)\(^{^{(i+j)}}\)·C\(_{_{i,j}}\) di un elemento qualunque a\(_{_{i,j}}\) il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l’elemento in questione con il segno + se i+j=numero pari ed il segno – se i+j=numero dispari \(Per questo si mette (-1)^{i+j} perche' se (i+j) e' pari ottengo +1 mentre se (i+j) e' dispari ottengo -1\)

Ad esempio calcoliamo il complemento algebrico di a\(_{_{2,2}}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(= +\)

\(a_{1,1} a_{1,3} a_{3,1} a_{3,3}\)

\(= + C_{2,2}\)

elimino la riga e la colonna dove c’e’ a\(_{_{2,2}}\) (elimino gli elementi in blu) ed ottengo il complemento C\(_{_{2,2}}\) di a\(_{_{2,2}}\); ci metto il segno + (essendo 2+2=4 numero pari) ed ottengo il complemento algebrico calcoliamo il complemento algebrico di a\(_{_{2,1}}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(= -\)

\(a_{1,2} a_{1,3} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(= - C_{2,1}\)

elimino la riga e la colonna dove c’e’ a\(_{_{2,1}}\) (elimino gli elementi in blu) ed ottengo il complemento C\(_{_{2,1}}\) di a\(_{_{2,1}}\); ci metto il segno – (essendo 2+1=3 numero dispari) ed ottengo il complemento algebrico

calcolo del determinante 3×3 col metodo normale

Il determinante di ordine 1 corrisponde al numero stesso

\(a_{1,1}\)

\(= a_{1,1}\)

Se ora vado a rivedere come calcolavo il determinante nel caso di un sistema di due equazioni in due incognite posso dire:

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(= a_{1,1} \cdot a_{2,2} - a_{1,2} \cdot a_{2,1} = a_{1,1} \cdot C_{1,1} - a_{1,2} \cdot C_{1,2}\)

Cioe’ moltiplico il primo elemento della prima riga per il suo complemento e moltiplico il secondo elemento della prima riga per il suo complemento e faccio la differenza Dobbiamo estendere questo metodo ad un determinante 3×3

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

Sviluppo secondo la prima riga (vedremo successivamente che e’ indifferente sviluppare secondo una qualsiasi riga o colonna) mettendo il segno positivo se la somma degli indici dell’elemento e’ pari ed il segno negativo se la somma degli indici dell’elemento e’ dispari. Posso anche dire che moltiplico ogni termine della riga per il suo complemento algebrico

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(= + a_{1,1} \cdot C_{1,1} - a_{1,2} \cdot C_{1,2} + a_{1,3} \cdot C_{1,3}\)

e quindi abbiamo

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(= a_{1,1} \cdot\)

\(a_{2,2} a_{2,3} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(- a_{1,2} \cdot\)

\(a_{2,1} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,3}\)

\(+ a_{1,3} \cdot\)

\(a_{2,1} a_{2,2} a_{3,1} a_{3,2}\)

Facciamo un esempio di calcolo di un determinante calcolare il valore di

\(1 1 1 2 -1 1 1 1 2\)

Sviluppo secondo la prima riga

\(1 1 1 2 -1 1 1 1 2\)

= 1 ·

\(-1 1 1 2\)

– 1 ·

\(2 1 1 2\)

+ 1 ·

\(2 -1 1 1\)

\(=\)

= 1 · [(-1)·2 – 1·1] – 1·(2·2 – 1·1) + 1·[2·1 -(-1)·1] = 1·(-3) – 1·3 + 1·3 = -3 – 3 + 3 = -3

Questo metodo sara’ applicabile per ricorrenza anche a sistemi di 4,5,…. equazioni in 4,5,… incognite Inoltro posso scegliere una qualunque riga o colonna per sviluppare; quindi, per rendere i calcoli piu’ semplici, se possibile, scegliero’ una riga o una colonna dove vi sono termini uguali a zero

\(Considero a_{1,1}: la somma degli indici e' 1 + 1 = 2 2 e' numero pari e quindi metto il segno +\)

\(Considero a_{1,2}: la somma degli indici e' 1 + 2 = 3 3 e' numero dispari e quindi metto il segno -\)

\(Considero a_{1,3}: la somma degli indici e' 1 + 3 = 4 4 e' numero pari e quindi metto il segno +\)

\(+a_{2,2}\) e’ il complemento algebrico di \(a_{1,1}\) Infatti se considero il determinante e faccio il complemento algebrico di \(a_{1,1}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

devo eliminare la riga e la colonna dove si trova \(a_{1,1}\) cioe’ gli elementi in blu e quindi mi resta

\(a_{2,2}\)

\(= + C_{1,1} = + a_{2,2}\)

il segno + deriva dal fatto che la somma degli indici 1+1=2 e’ pari

\(-a_{2,1}\) e’ il complemento algebrico di \(a_{1,2}\) Infatti se considero il determinante e faccio il complemento algebrico di \(a_{1,2}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,1}\)

devo eliminare la riga e la colonna dove si trova \(a_{1,2}\) cioe’ gli elementi in blu e quindi mi resta

\(a_{2,1}\)

\(= - C_{1,2} = - a_{2,1}\)

il segno – deriva dal fatto che la somma degli indici 2+1=3 e’ dispari

calcolo del determinante 3×3 con la regola di Sarrus

Quando ci limitiamo a sistemi di 3 equazioni in 3 incognite, e se il determinante non ha elementi nulli, conviene utilizzare la regola di Sarrus per calcolarne il valore; la useremo nella forma piu’ semplice

consideriamo un determinante del terzo ordine

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

riporto accanto al determinante le prime due colonne

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2} a_{3,1} a_{3,2}\)

La regola di Sarrus dice che il valore del determinante e’ dato da \(D = a_{1,1} \cdot a_{2,2} \cdot a_{3,3} + a_{1,2} \cdot a_{2,3} \cdot a_{3,1} + a_{1,3} \cdot a_{2,1} \cdot a_{3,2} - a_{1,3} \cdot a_{2,2} \cdot a_{3,1} - a_{1,1} \cdot a_{2,3} \cdot a_{3,2} - a_{1,2} \cdot a_{2,1} \cdot a_{3,3}\) cioe’ moltiplico tra loro gli elementi della diagonale principale e tra loro gli elementi delle due diagonali parallele che si sono formate e poi sottraggo il prodotto degli elementi della diagonale secondaria ed anche i prodotti degli elementi per le due diagonali parallele alla secondaria Per memorizzarlo meglio si puo’ esprimere graficamente in questo modo:

[figura: determinante00.jpg]

[figura: determinante01.jpg]

E ti va anche bene! A me, ai tempi in cui studiavo, l’hanno fatta ricordare in modo equivalente cosi’!

[figura: determinante05.jpg]

[figura: determinante06.jpg]

E’ equivalente, ottengo gli stessi valori senza dover riportare le prime due colonne

Vediamo come utilizzarla direttamente da un esempio: riprendiamo il determinante gia’ calcolato col metodo normale

\(1 1 1 2 -1 1 1 1 2\)

\(=\)

riporto accanto al determinante le prime due colonne

\(1 1 1 2 -1 1 1 1 2\)

\(1 1 2 -1 1 1\)

Ora applico la regola di Sarrus

[figura: determinante07.jpg]

[figura: determinante08.jpg]

= 1·(-1)·2 + 1·1·1 + 1·2·1 – 1·(-1)·1 – 1·1·1 – 1·2·2 = -2 + 1 + 2 + 1 – 1 – 4 = -3

La diagonale principale e’ quella indicata con la riga blu

[figura: determinante03.jpg]

La diagonale secondaria e’ quella indicata con la riga blu

[figura: determinante04.jpg]

soluzione del sistema col metodo di Cramer

Ora possiamo procedere a risolvere il sistema: Prendiamo lo stesso sistema gia’ risolto con il metodo di sostituzione

x + y + z = 6 2x + y – z = 1 2x – 3y + z = -1 considero la matrice incompleta e completa del sistema

\(1 1 1 2 1 -1 2 -3 1\)

\(1 1 1 6 2 1 -1 1 2 -3 1 -1\)

Matrice incompleta Matrice completa

La quarta colonna della matrice completa e’ la colonna dei termini noti Applichiamo la stessa regola gia’ applicata per risolvere i sistemi di due equazioni in due incognite: Per calcolare il valore della x devo scrivere al denominatore il determinante ottenuto dalla matrice incompleta ed al numeratore cancello la colonna delle x ed al suo posto metto la colonna dei termini noti

\(6 1 1 1 1 -1 -1 -3 1\)

\(x = ----------------------- =\)

\(1 1 1 2 1 -1 2 -3 1\)

Calcoliamo i determinanti \(- 14 = -------- = - 14\) \(1\)

Per calcolare il valore della y devo scrivere al denominatore il determinante ottenuto dalla matrice incompleta ed al numeratore cancello la colonna delle y ed al suo posto metto la colonna dei termini noti

\(1 6 1 2 1 -1 2 -1 1\)

\(y = ----------------------- =\)

\(1 1 1 2 1 -1 2 -3 1\)

Calcoliamo \(- 28 = -------- = - 14\) \(2\)

Per calcolare il valore della z devo scrivere al denominatore il determinante ottenuto dalla matrice incompleta ed al numeratore cancello la colonna delle z ed al suo posto metto la colonna dei termini noti

\(1 1 6 2 1 1 2 -3 -1\)

\(z = ----------------------- =\)

\(1 1 1 2 1 -1 2 -3 1\)

Calcoliamo \(- 42 = -------- = - 14\) \(3\)

Ottengo quindi come soluzione

x = 1 y = 2 z = 3

calcoli

Calcoli Calcoliamo il valore del determinante al numeratore (io faccio tutti i passaggi, tu puoi abbreviare)

\(6 1 1 1 1 -1 -1 -3 1\)

Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna

6 1 1 1 1 -1 -1 -3 1

6 1 1 1 -1 -3

Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele

611 1 1-1 -1 -3 1

6 1 1 1 -1-3 = 6·1·1 + 1·(-1)·(-1) + 1·1·(-3) = 6 + 1 – 3 = 4

Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele

6 1 1 1 1-1 -1-31

61 1 1 -1 -3 = 1·1·(-1) + 6·(-1)·(-3) + 1·1·1 = -1 +18 + 1 = 18

Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del determinante

\(6 1 1 1 1 -1 -1 -3 1\)

\(= 4 - 18 = -14\)

Calcoliamo ora il valore del secondo determinante (determinante dei coefficienti)

\(1 1 1 2 1 -1 2 -3 1\)

Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna

1 1 1 2 1 -1 2 -3 1

1 1 2 1 2 -3

Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele

111 2 1-1 2 -3 1

1 1 2 1 2-3 = 1·1·1 + 1·(-1)·2 + 1·2·(-3) = 1 – 2 – 6 = -7

Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele

1 1 1 2 1-1 2-31

11 2 1 2 -3 = 1·1·2 + 1·(-1)·(-3) + 1·2·1 = 2 + 3 + 2 = 7

Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del determinante

\(1 1 1 2 1 -1 2 -3 1\)

\(= -7 - 7 = -14\)

Calcoli Basta calcolare il determinante al numeratore perche’ quello sotto l’abbiamo gia’ calcolato e vale -14 Calcoliamo il valore del determinante

\(1 6 1 2 1 -1 2 -1 1\)

Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna

1 6 1 2 1 -1 2 -1 1

1 6 2 1 2 -1

Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele

161 2 1-1 2 -1 1

1 6 2 1 2-1 = 1·1·1 + 6·(-1)·2 + 1·2·(-1) = 1 – 12 – 2 = -13

Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele

1 6 1 2 1-1 2-11

16 2 1 2 -1 = 1·1·2 + 1·(-1)·(-1) + 6·2·1 = 2 + 1 + 12 = 15

Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del determinante

\(1 6 1 2 1 -1 2 -1 1\)

\(= -13 - 15 = -28\)

Calcoli Basta calcolare il determinante sopra perche’ quello al denominatore l’abbiamo gia’ calcolato e vale -14 Calcoliamo il valore del determinante

\(1 1 6 2 1 1 2 -3 -1\)

Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna

1 1 6 2 1 1 2 -3 -1

1 1 2 1 2 -3

Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele

116 2 11 2 -3 -1

1 1 2 1 2-3 = 1·1·(-1) + 1·1·2 + 6·2·(-3) = -1 + 2 – 36 = -35

Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele

1 1 6 2 11 2-3-1

11 2 1 2 -3 = 6·1·2 + 1·1·(-3) + 1·2·(-1) = 12 – 3 – 2 = 7

Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del determinante

\(1 1 6 2 1 1 2 -3 -1\)

\(= -35 - 7 = -42\)

Al solito le equazioni che compongono un sistema contengono informazioni che possono essere

• informazioni valide
• informazioni errate
• informazioni ripetute

Avendo a sistema tre equazioni vediamo nei particolari i casi possibili di sistema possibile, impossibile ed indeterminato costruendoci gli strumenti necessari per trattare tali argomenti in modo generale

• Sistema possibile
• Sistema indeterminato
• Dipendenza ed indipendenza lineare fra equazioni
• Sistema impossibile
• Rango di una matrice
• Teorema di Rouché-Capelli

informazioni valide

informazioni valide Facciamo un esempio: consideriamo i valori \(x = 1 y = 2 z = 3\) e costruiamoci delle equazioni:

Questo e’ il metodo migliore per costruire degli esercizi sui sistemi: parti dalle soluzioni e costruisciti le equazioni

queste saranno valide se ci daranno informazioni diverse e compatibili sullo stesso fatto 1 + 2 + 3 = 6 x + y + z = 6 1 – 2 + 3 = 2 x – y + z = 2 2 + 2 – 3 = 1 2x + y – z = 1 2 – 6 + 3 = -1 2x – 3y + z = -1 diverse significa che non posso trasformarle una nell’altre moltiplicando o dividendo tutti i termini per gli stessi numeri compatibili significa che non posso avere equazioni in forma canonica (cioe’ con le incognite prima dell’uguale e il termine noto dopo l’uguale) che hanno proporzionali i termini prima dell’uguale e non i termini dopo l’uguale

informazioni errate

informazioni errate Prendiamo sempre i valori \(x = 1 y = 2 z = 3\) e costruiamoci delle equazioni: queste saranno errate se ci daranno informazioni non compatibili sullo stesso fatto 1 + 2 + 3 = 6 x + y + z = 6 1 + 2 + 3 = 5 x + y + z = 5 2 + 4 + 6 = 6 2x + 2y + 2z = 6 1 – 2 + 3 = 0 x – y + z = 0 anche se e’ riduttivo farlo controlla i numeri e vedi che le equazioni che ho scritto, se e’ valida la prima, sono tutte errate;

Nella seconda ho scritto che la somma di tre numeri fa 5 in contrasto con la prima dove la somma valeva 6 Nella terza ho scritto che la somma del doppio di tre numeri vale 6, mentre nella prima dico che vale 6 la somma degli stessi tre numeri

quindi se facessi un sistema non potrei trovare una soluzione valida

informazioni ripetute

informazioni ripetute Prendiamo sempre i valori \(x = 1 y = 2 z = 3\) e costruiamoci delle equazioni: queste saranno ripetute se ci daranno informazioni uguali sullo stesso fatto 1 + 2 + 3 = 6 x + y + z = 6 1 + 2 + 3 = 6 x + y + z = 6 2 + 4 + 6 = 12 2x + 2y + 2z = 12 3 + 6 + 9 = 18 3x + 3y + 3z = 18 in pratica ho sempre la stessa equazione:

la seconda e’ identica alla prima la terza si ottiene dalla prima moltiplicandone tutti itermini per 2 la quarta si ottiene dalla prima moltiplicandone tutti itermini per 3

Diremo che il sistema e’ possibile se le tre equazioni che lo compongono derivano da informazioni valide In tal caso, per risolverlo, utilizzeremo la regola di Cramer ed otterremo come soluzione una sola terna di valori

x = primo valore y = secondo valore z = terzo valore

Sistema indeterminato Diremo che un sistema e’ indeterminato se due delle equazioni che lo compongono sono tra loro equivalenti oppure anche tutte e tre: i due casi danno luogo a soluzioni diverse: vediamolo in particolare

• due equazioni equivalenti
• tre equazioni equivalenti

Vedremo comunque nelle prossime pagine di introdurre un concetto che ci permetta di trattare meglio i casi di sistemi possibili ed indeterminati: il concetto di dipendenza ed indipendenza lineare

due equazioni equivalenti

Due equazioni equivalenti Prima facciamo un semplice esempio e poi raccogliamo i risultati

Risolvere il sistema:

x + y + z = 6 x + y + z = 6 x + y – z = 0

Metodo di sostituzione In questo caso ho che la prima e la seconda equazione sono equivalenti (anzi sono addirittura uguali), e se andassi a sostituire normalmente otterrei alla fine 0=0; quindi, per poter risolvere devo eliminare una delle due equazioni equivalenti ed il mio sistema si riduce a

x + y + z = 6 x + y – z = 0 Risolvo con il metodo di sostituzione: ricavo la y dall’ultima equazione e vado a sostituire nella prima

x + z – x + z = 6 y = z – x sommo

2z = 6 y = z – x divido per 2

z = 3 y = z – x sostituisco a z il valore 3 ed ottengo il risultato z = 3 y = 3 – x Ottengo quindi oo soluzioni perche’ per ogni valore che posso dare ad x (1,2,3,….. 1/2, 1/3, ….) ottengo un valore per y e quindi il mio sistema ammette infinite soluzioni che posso anche indicare come

x = k y = 3-k z = 3 con k numero reale

Metodo di Cramer Considero le matrici incompleta e completa

\(1 1 1 1 1 1 1 1 -1\)

\(1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 -1 0\)

Matrice incompleta Matrice completa

Vediamo che ci sono due righe uguali: se procedessi normalmente otterrei che i determinanti 3×3 sarebbero tutti nulli (due righe uguali) ed otterrei come soluzioni 0/0 (valore indeterminato); quindi per procedere a trovare le soluzioni devo eliminare una equazione delle due uguali ed il mio sistema diventa

x + y + z = 6 x + y – z = 0 Devo spostare dopo l’uguale una incognita, trattandola come un numero dato, per avere tante incognite quante equazioni sposto dopo l’uguale la x per ottenere gli stessi risultati trovati sopra: ottengo il sistema

y + z = 6 – x y – z = -x con matrice incompleta e completa

\(1 1 1 -1\)

\(1 1 6-x 1 -1 -x\)

Matrice incompleta Matrice completa

Trovo y con la regola di Cramer

\(6-x 1 -x -1\)

(6-x)·(-1) – 1·(-x) -6 +x +x -6 + 2x

y = ————— = ———————- = ————— = ———- = 3-x

\(1 1 1 -1\)

1·(-1) – 1·1 -1 – 1 -2

Trovo z con la regola di Cramer

\(1 6-x 1 -x\)

1·(-x) – (6-x)·1 -x -6 + x -6

z = ————— = ———————- = ————— = ——– = 3

\(1 1 1 -1\)

1·(-1) – 1·1 -1 – 1 -2

e quindi, siccome posso dare ad x un valore qualunque:

x = k y = 3-k z = 3 con k numero reale

Possiamo quindi dire: Se due equazioni sono equivalenti allora il sistema ammette oo soluzioni

per poter elaborare una teoria unitaria avremo bisogno di nuovi concetti quali: dipendenza ed indipendenza lineare matrici, determinanti e rango di una matrice Lo vedremo nelle prossime pagine

tre equazioni equivalenti

Tre equazioni equivalenti Anche qui facciamo un semplice esempio e poi raccogliamo i risultati

Risolvere il sistema:

x + y + z = 6 x + y + z = 6 2x + 2y + 2z = 12

Metodo di sostituzione In questo caso le tre equazioni sono equivalenti (le prime due sono addirittura uguali e la terza e’ ottenuta dalla prima moltiplicandone i termini per 2), e se andassi a sostituire normalmente otterrei alla fine 0=0; quindi, per poter risolvere devo eliminare due delle tre equazioni equivalenti ed il mio sistema si riduce al’equazione x + y + z = 6 Risolvo: ricavo la x come se y e z fossero numeri dati x = 6 – y – z ora posso attribuire ad y infiniti valori, ma non solo: per ogni valore che do’ ad y posso dare infiniti valori a z Se non ti e’ chiaro e quindi il mio sistema ammette infinite al quadrato (\(oo^2\)) soluzioni che posso anche indicare come

x = 6-h-k y = h z = k con h e k numeri reali

Metodo di Cramer Considero le matrici incompleta e completa

\(1 1 1 1 1 1 2 2 2\)

\(1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6\)

Matrice incompleta Matrice completa

Vediamo che ci sono due righe uguali ed una proporzionale: se procedessi normalmente otterrei che i determinanti 3×3 sarebbero tutti nulli (ed anche tutti quelli 2×2) ed otterrei come soluzioni 0/0 (valore indeterminato); quindi per procedere a trovare le soluzioni devo eliminare due equazione delle tre uguali ed il mio sistema diventa x + y + z = 6 Devo spostare dopo l’uguale due incognite, trattandola come numeri dati, per avere tante incognite quante equazioni sposto dopo l’uguale la y e la z per ottenere gli stessi risultati trovati sopra: ottengo x = 6 – y – z con matrice incompleta e completa

\(1\)

\(1 6-y-z\)

Matrice incompleta Matrice completa

Trovo x con la regola di Cramer

\(6-y-z\)

\(6-y-z\)

\(x = --------------- = ----------- = 6-y-z\)

\(1\)

\(1\)

e quindi, siccome posso dare ad y e z un valore qualunque:

x = 6-h-k y = h z = k con h e k numeri reali

Possiamo quindi dire: Se tre equazioni sono equivalenti allora il sistema ammette \(oo^2\) soluzioni

E’ ormai ora di parlare di: dipendenza ed indipendenza lineare matrici, determinanti e rango di una matrice

Considera la soluzione

x = 6-h-k y = h z = k con h e k numeri reali proviamo a dare ad y=h il valore 2: otteniamo

x = 6-2-k y = 2 z = k con h=2 e k numero reale e questi sono infiniti valori perche’ a z=k posso dare il valore che voglio Adesso cambio e ad y=h do’ il valore 42 Perche’ 42?

x = 6-42-k = -36-k y = 42 z = k con h=42 e k numero reale anche questi sono infiniti valori perche’ a z=k posso dare il valore che voglio: allora:

• Ad y posso dare infiniti valori
• Per ogni valore che do’ ad y posso dare infiniti valori a z
• Quindi infiniti valori per y moltiplicati per infiniti valori di z mi da’ \(oo \cdot oo = oo^2\)

E perche’ no ? Consultare la “Guida Galattica per autostoppisti”

dipendenza ed indipendenza lineare

Dipendenza ed indipendenza lineare consideriamo alcune equazioni x + y + z = 6 2x + 2y + 2z = 12 x – y + z = 2

Diremo che due equazioni sono tra loro linearmente dipendenti se e’ possibile trasformare la prima nella seconda moltiplicando o dividendo tutti i termini per lo stesso numero; prima equazione = k ·(seconda equazione) Nell’esempio la prima e la seconda sono tra loro linearmente dipendenti perche’ ottengo la seconda moltiplicando ogni termine della prima per 2 anche se non e’ molto esatto proviamo a rappresentarlo cosi’ 2·(x + y + z = 6) => (2·x + 2·y + 2·z = 2·6) => 2x + 2y + 2z = 12

Due equazioni sono tra loro linearmente indipendenti se non e’ possibile trasformare la prima nella seconda moltiplicando o dividendo tutti i termini per lo stesso numero; Ad esempio la prima e la terza sono tra loro linearmente indipendenti e non sono trasformabili una nell’altra: basta guardare i segni: moltiplicando non posso trasformare quattro segni positivi in tre positivi ed un negativo

La nozione di dipendenza lineare e’ fondamentale in tutti quegli oggetti matematici che hanno delle componenti ben definite, come le coordinate di un punto, le componenti di un vettore, i termini di un polinomio ordinato, e qui, le equazioni a piu’ incognite perche’ ci permette di capire quando due oggetti sono effettivamente diversi e non possono diventare uguali e quando, invece, possono diventare uguali

Per quello che ora ci interessa sui sistemi possiamo affermare che

• se le equazioni sono fra loro linearmente dipendenti allora le matrici completa ed incompleta avranno entrambe delle righe uguali o proporzionali
• Se il sistema ammette una sola soluzione allora le equazioni componenti sono fra loro linearmente indipendenti Non vale il viceversa

Sistema impossibile Anche qui facciamo un semplice esempio e poi raccogliamo i risultati

Risolvere il sistema:

x + y + z = 6 x + y + z = 5 x – y + z = 2

Il sistema e’ impossibile perche’ la prima equazione e’ in contrasto con la seconda: la somma degli stessi tre numeri non puo’ dare una volta 6 ed una volta 5 Se risolviamo per sostituzione otterremno un uguaglianza tipo 0=1 Se osserviamo la matrice incompleta e completa:

\(1 1 1 1 1 1 1 -1 1\)

\(1 1 1 6 1 1 1 5 1 -1 1 2\)

Matrice incompleta Matrice completa

mentre nella matrice completa abbiamo due righe uguali nella matrice incompleta tali righe non vi sono: e quindi applicando il metodo di Cramer otterremo come soluzione per le incognite un numero fratto zero che corrisponde a soluzione impossibile. Quindi il fatto che il sistema sia impossibile e’ legato al fatto che la matrice dei coefficienti ha due righe uguali o proporzionali, mentre la matrice completa no; per evidenziare al meglio questo fatto introduciamo, nella prossima pagina, la nozione di Rango di una matrice

rango di una matrice

Rango di una matrice Dobbiamo introdurre il fatto che se prendiamo dei determinanti di un certo ordine estraendoli da una matrice essi potranno essere tutti nulli oppure potra’ esistere qualche determinante diverso da zero Partiamo dalla matrice incompleta e completa della pagina precedente

\(1 1 1 1 1 1 1 -1 1\)

\(1 1 1 6 1 1 1 5 1 -1 1 2\)

Matrice incompleta Matrice completa

Quanti determinanti posso estrarre da quelle matrici?

• Determinanti 3×3 (rango 3) 1 dalla matrice incompleta 4 dalla matrice completa vedere
• determinanti 2×2 (rango 2) 9 dalla matrice incompleta vedere 18 dalla matrice completa vedere
• Determinanti 1×1 (corrispondono agli elementi) (rango 1) 9 dalla matrice incompleta 12 dalla matrice completa

Definizione: Definiamo Rango o Caratteristica di una matrice l’ordine del determinante piu’ alto estraibile che sia diverso da zero Se ora consideriamo la matrice incompleta vediamo che il determinante di ordine 3 e’ uguale a zero, perche’ ha due righe uguali, mentre esiste un determinante di ordine 2 diverso da zero: prendo il minore indicato in blu

\(1 1 1 1 1 1 1 -1 1\)

Cioe’

1 1 1 -1

= 1·(-1) – 1·1 = -1 – 1 = -2

quindi il rango della matrice incompleta e’ 2 perche’ il determinante piu’ grosso diverso da zero e’ 2×2 Nella matrice completa, invece, abbiamo che la colonna dei termini noti non rispetta la proporzione e, se vado a prendere uno dei minori considerandolo avente come colonna l’ultima colonna della matrice, vedo che il valore del suo determinante e’ diverso da zero

\(1 1 1 6 1 1 1 5 1 -1 1 2\)

\(1 1 6 1 1 5 1 -1 2\)

\(= -2 Calcoli\)

quindi il rango della matrice completa e’ 3 perche’ il determinante piu’ grosso diverso da zero e’ 3×3 Questo fatto di avere le caratteristiche della matrice completa e della matrice incompleta diverse e’ tipico dei sitemi impossibili e deriva dal fatto che l’informazione dopo l’uguale, essendo errata, non rispetta la proporzione come i coefficienti delle incognite, quindi Un sistema e’ impossibile se il rango della matrice completa e’ diverso dal rango della matrice incompleta

Calcoli Calcoliamo il valore del determinante

\(1 1 6 1 1 5 1 -1 2\)

Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna

1 1 6 1 1 5 1 -1 2

1 1 1 1 1 -1

Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele

116 1 15 1 -1 2

1 1 1 1 1-1 = 1·1·2 + 1·5·1 + 6·1·(-1) = 2 + 5 – 6 = 1

Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele

1 1 6 1 15 1-12

11 1 1 1 -1 = 6·1·1 + 1·5·(-1) + 1·1·2 = 6 – 5 + 2 = 3

Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del determinante

\(1 1 6 1 1 5 1 -1 2\)

\(= 1 - 3 = -2\)

determinanti

Determinanti 3×3 estraibili dalla matrice completa Tolgo la riga in blu Faccio scorrere la riga che tolgo dall’ultima colonna alla prima

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,2} b_1 a_{2,1} a_{2,2} b_2 a_{3,1} a_{3,2} b_3\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,3} b_3\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

Determinanti 2×2 estraibili dalla matrice incompleta Tolgo gli elementi in blu

Tengo fissa la terza riga e faccio scorrere la colonna (terza, seconda prima)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,3}\)

Tengo fissa la seconda riga e faccio scorrere la colonna (terza, seconda prima)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{3,1} a_{3,2}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,3} a_{3,1} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{1,2} a_{1,3} a_{3,2} a_{3,3}\)

Tengo fissa la prima riga e faccio scorrere la colonna (terza, seconda prima)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{2,1} a_{2,2} a_{3,1} a_{3,2}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{2,1} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3}\)

=>

\(a_{2,2} a_{2,3} a_{3,2} a_{3,3}\)

Determinanti 2×2 estraibili dalla matrice completa

Per determinare gli elementi tengo fisso una riga: la terza, poi la seconda e poi la prima e fissando l’ultima colonna faccio scorrere la penultima colonna verso l’inizio

Tolgo gli elementi in blu Tengo fissa la terza riga

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,3} a_{2,1} a_{2,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,2} a_{1,3} a_{2,2} a_{2,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} b_1 a_{2,1} b_2\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,2} b_1 a_{2,2} b_2\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,3} b_1 a_{2,3} b_2\)

Tengo fissa la seconda riga

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{3,1} a_{3,2}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} a_{1,3} a_{3,1} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,2} a_{1,3} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,1} b_1 a_{3,1} b_3\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,2} b_1 a_{3,2} b_3\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{1,3} b_1 a_{3,3} b_3\)

Ora fisso la prima riga

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{2,1} a_{2,2} a_{3,1} a_{3,2}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{2,1} a_{2,3} a_{3,1} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{2,2} a_{2,3} a_{3,2} a_{3,3}\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{2,1} b_2 a_{3,1} b_3\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{2,2} b_2 a_{3,2} b_3\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} b_1 a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} b_2 a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} b_3\)

=>

\(a_{2,3} b_2 a_{3,3} b_3\)

teorema di Rouchè-Capelli

Teorema di Rouchè-Capelli Siamo ora in grado di enunciare un teorema che rappresenta il sunto di tutti i ragionamenti precedenti:

Un sistema di equazioni di primo grado (lineari) ammette soluzioni (una o infinite) se e solo se il rango (caratteristica) della matrice completa e’ uguale al rango (caratteristica) della matrice incompleta

Inoltre, sempre rifacendoci ai ragionamenti precedenti, possiamo dire che, se i ranghi uguali della matrice completa ed incompleta sono inferiori al numero delle incognite allora il sistema ammette infinite soluzioni Non solo, ma possiamo affermare che , se le incognite sono 3 e il rango vale s (con s < 3) allora le soluzioni sono oo\(^{^{3-s}}\)

Il ragionamento fatto per i sistemi di 3 equazioni di primo grado in tre incognite potra’ essere esteso in modo semplice ai sistemi di n equazioni in n incognite

Insomma per risolvere un sistema di 3 equazioni di primo grado in tre incognite dobbiamo:

Controllare la matrice completa ed incompleta e vedere se il loro rango vale 3: se vale 3 allora posso usare Cramer per trovare la soluzione Se i ranghi sono diversi il sistema non ammette soluzioni Se i ranghi sono uguali ma inferiori a 3 allora devo scegliere le equazioni corrispondenti al determinante il cui valore sia diverso da zero e considerare solo un numero di incognite uguale al numero di equazioni considerate spostando le altre incognite dopo l’uguale trattandole come fossero parametri e risolvere il sistema che ottengo con il metodo di Cramer (o di sostituzione)

sistema omogeneo

Sistema omogeneo Vediamo ora un caso particolare: e’ possibile risolvere un sistema quando la somma delle incognite vale sempre zero? costruiamo il sistema con il solito metodo: consideriamo i valori \(x = 1 y = 2 z = 3\) che saranno le soluzioni Costruiamo le equazioni 1 + 2 – 3 = 0 x + y – z = 0 1 – 2·2 + 3 = 0 x – 2y + z = 0 5·1 – 2 – 3 = 0 5x – y – z = 0 Dobbiamo risolvere il sistema:

x + y – z = 0 x – 2y + z = 0 5x – y – z = 0 Se il determinante della matrice dei coefficienti e’ diverso da zero, procedo con il metodo di Cramer, siccome la colonna dei termini noti e’ tutta nulla otterro’ la soluzione banale

x = 0 y = 0 z = 0 Se invece il determinante e’ uguale a zero (come nel nostro caso)

\(1 1 -1 1 -2 1 5 -1 -1\)

\(= 0\) Calcoli

allora il sistema ammette infinite soluzioni e vale la regola: Se i complementi algebrici degli elementi di una qualunque riga non sono tutti nulli allora il loro valore e’ una delle infinite soluzioni del sistema Cioe’ saranno soluzioni del sistema anche tutti i multipli e sottomultipli dei valori trovati cioe’:

\(x = costante \cdot C_{1,1} y = costante \cdot C_{1,2} z = costante \cdot C_{1,3}\) Essendo: C\(_{_{1,1}}\) il complemento algebrico del primo elemento della prima riga C\(_{_{1,2}}\) il complemento algebrico del secondo elemento della prima riga C\(_{_{1,3}}\) il complemento algebrico del terzo elemento della prima riga

Siccome i complementi algebrici degli elementi della prima riga non sono tutti nulli considero loro Attenzione: nel concetto di complemento algebrico e’ implicito il segno normale se il complemento ha somma degli indici pari, segno cambiato se la somma degli indici e’ dispari

Nel nostro caso abbiamo: \(x = C_{1,1} =\)

\(-2 1 -1 -1\)

= (-2)·(-1) – 1·(-1) = 2 + 1 = 3

\(y = C_{1,2} =\)

\(1 1 5 -1\)

= – [1·(-1) – 5·(1)] = – ( -1 – 5) = 6

\(z = C_{1,3} =\)

\(1 -2 5 -1\)

= 1·(-1) – (-2)·5 = -1 + 10 = 9

ottengo quindi come soluzione

x = 3 y = 6 z = 9 siccome ho come infinite soluzioni tutte quelle proporzionali a queste avro’ come soluzione anche

x = 1 y = 2 z = 3 ottenuta dalla precedente dividendo ogni risultato per 3 E’ preferibile indicare le soluzioni come

x = k y = 2k z = 3k con k numero reale

Calcoli Calcoliamo il valore del determinante

\(1 1 -1 1 -2 1 5 -1 -1\)

Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna

1 1 -1 1 -2 1 5 -1 -1

1 1 1 -2 5 -1

Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele

11-1 1 -21 5 -1 -1

1 1 1 -2 5-1 = 1·(-2)·(-1) + 1·1·5 + (-1)·1·(-1) = 2 + 5 + 1 = 8

Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele

1 1 -1 1 -21 5-1-1

11 1 -2 5 -1 = (-1)·(-2)·5 + 1·1·(-1) + 1·1·(-1) = 10 – 1 – 1 = 8

Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del determinante

\(1 1 1 1 -2 -1 5 -1 -1\)

\(= 8 - 8 = 0\)

\(C_{1,2} ha indice 1 + 2 = 3 cioe' dispari e quindi il risultato del determinante va cambiato di segno\)