Sistemi Lineari a Due Incognite: Esercizi Svolti

In questa guida vedremo alcuni esercizi svolti sui sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Analizzeremo i passaggi per risolverli con i metodi di sostituzione e del confronto.

Esercizi Svolti sui Sistemi Lineari

Esercizio 1: Metodo di Sostituzione

Risolviamo il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione.

\[
\begin{cases}
x+y=2 \\
-x+2y=-17
\end{cases}
\]

Isoliamo la variabile \(y\) nella prima equazione e la sostituiamo nella seconda.

\[
\begin{cases}
y=2-x \\
-x+2(2-x)=-17
\end{cases}
\]

Svolgiamo i calcoli nella seconda equazione per trovare il valore di \(x\).

\[
\begin{cases}
y=2-x \\
-x+4-2x=-17
\end{cases}
\]

Una volta trovato \(x\), lo sostituiamo nella prima equazione per calcolare \(y\).

\[
\begin{cases}
y=2-x \\
-3x=-21
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
y=2-x \\
x=7
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x=7 \\
y=-5
\end{cases}
\]

Esercizio 2: Metodo di Sostituzione

Risolviamo un altro sistema con il metodo di sostituzione.

\[
\begin{cases}
2x+y=5 \\
x-3y=-1
\end{cases}
\]

In questo caso, è più conveniente isolare la \(x\) dalla seconda equazione.

\[
\begin{cases}
2x+y=5 \\
x=3y-1
\end{cases}
\]

Sostituiamo l’espressione di \(x\) nella prima equazione.

\[
\begin{cases}
2(3y-1)+y=5 \\
x=3y-1
\end{cases}
\]

Svolgiamo i calcoli per trovare il valore di \(y\) e, successivamente, quello di \(x\).

\[
\begin{cases}
6y-2+y=5 \\
x=3y-1
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
7y=7 \\
x=3y-1
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
y=1 \\
x=3y-1
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x=2 \\
y=1
\end{cases}
\]

Esercizio 3: Metodo del Confronto

Risolviamo il seguente sistema utilizzando il metodo del confronto.

\[
\begin{cases}
3x-4y=6 \\
3x-y=3
\end{cases}
\]

Isoliamo la stessa espressione, in questo caso \(3x\), in entrambe le equazioni.

\[
\begin{cases}
3x=6+4y \\
3x=y+3
\end{cases}
\]

Ora eguagliamo (confrontiamo) le due espressioni ottenute.

\[
\begin{cases}
6+4y=y+3 \\
3x=y+3
\end{cases}
\]

Risolviamo la prima equazione in \(y\) e poi usiamo il risultato per trovare \(x\).

\[
\begin{cases}
3y=-3 \\
3x=y+3
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
y=-1 \\
x=\frac{y+3}{3}
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x=\frac{2}{3} \\
y=-1
\end{cases}
\]

Vedi anche

• Sistemi lineari: problemi svolti. Gli stessi due metodi applicati a problemi con testo.
• Equazioni di primo grado. Il prerequisito per risolvere ciascuna equazione del sistema.
• Equazioni fratte. Approfondimento: sistemi che si riconducono a equazioni fratte.

Pagine originali

Le scansioni originali delle pagine da cui è stato tratto questo esercizio. Clicca su un’immagine per ingrandirla.