Testo

Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 10 cm, qual è quello di superficie laterale massima?

Soluzione

Se chiamo O il centro della sfera, V il vertice del cono retto, H la proiezione ortogonale di V sulla base del cono e A un punto della circonferenza di base, allora OV=OB=OA e, posto x=VH vedo come questo può variare tra 0 e 2r.

La superficie laterale del cono è (per trovarsi AH si usa il secondo teorema di Euclide, mentre per trovare VA uso il primo teorema di Euclide applicato sullo stesso triangolo): \[ S_{L}=\pi\cdot AH\cdot VA=\pi\cdot\sqrt{VH\cdot HB}\cdot VA=\pi\cdot\sqrt{VH\cdot HB}\cdot\sqrt{VB\cdot VH} \] Espresso nella variabile x diventa: \[ S_{L}=\pi\cdot\sqrt{2r\pi}\cdot\sqrt{x\left(2r-x\right)}=\pi\sqrt{4r^{2}x^{2}-2rx^{3}} \] Per trovare il massimo sfrutto la derivata prima della funzione qui sopra: \[ S_{L}^{‘}\geq0\rightarrow4r^{2}x-3rx^{2}\geq0\rightarrow0\leq x\leq\frac{4}{3}r \] Il valore massimo si avrà quindi per \[ x=\frac{4}{3}r=\frac{4}{3}\cdot10cm=13,3cm \]