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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2^{x+\frac{1}{x}} \] La funzione può essere scritta anche così: \[ f\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2^{-\frac{x^{2}+1}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x+\frac{1}{x}}=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x+\frac{1}{x}}=+\infty \] Non c’è asintoto obliquo per x che tende a +infinito. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x+\frac{1}{x}}=0^{+} \] Per x che tende a -infinito, y=0 è asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}2^{x+\frac{1}{x}}=+\infty \] Per x che tende a 0 da destra, x=0 è asintoto verticale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{-}}2^{x+\frac{1}{x}}=0 \] Per x che tende a 0 da sinistra, la funzione si “pianta” nell’origine.

6) Derivate: \[ f’\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\ln2\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x>1 \] Quindi per x<-1 e per x>1 la derivata è positiva e la funzione crescente, tra -1 e 1 la derivata è negativa e la funzione decrescente. In x=-1 e x=1 la derivata si annulla, quindi: \[ MAX\left(-1;\frac{1}{4}\right) \] \[ MIN\left(1;4\right) \] Calcoliamo l’inclinazione della tangente della funzione per x che tende a zero da sinistra: \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)=0 \] quindi la tangente è orizzontale.

Derivata seconda: \[ f’\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\ln2\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=\ln2\cdot\frac{\ln2\cdot2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}}+2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\frac{2x^{3}-2x^{3}+2x}{x^{4}}}{x^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\ln2\cdot2^{\frac{x^{2}+1}{x}}}{x^{8}}\left(\ln2\cdot x^{4}-2\ln2\cdot x^{2}+\ln2+2x\right) \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln2\cdot x^{4}-2\ln2\cdot x^{2}+\ln2+2x\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln2\cdot x^{4}-2\ln2\cdot x^{2}\geq-\ln2-2x \] Per via grafica otteniamo la posizione approssimata dei due flessi:

Qui sotto il grafico di f(x):

 

 

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