Studio di funzioni – Esercizio 96

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2^{x+\frac{1}{x}} \] La funzione può essere scritta anche così: \[ f\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2^{-\frac{x^{2}+1}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x+\frac{1}{x}}=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x+\frac{1}{x}}=+\infty \] Non c’è asintoto obliquo per x che tende a +infinito. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x+\frac{1}{x}}=0^{+} \] Per x che tende a -infinito, y=0 è asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}2^{x+\frac{1}{x}}=+\infty \] Per x che tende a 0 da destra, x=0 è asintoto verticale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{-}}2^{x+\frac{1}{x}}=0 \] Per x che tende a 0 da sinistra, la funzione si “pianta” nell’origine.

6) Derivate: \[ f'\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\ln2\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}} \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x>1 \] Quindi per x<-1 e per x>1 la derivata è positiva e la funzione crescente, tra -1 e 1 la derivata è negativa e la funzione decrescente. In x=-1 e x=1 la derivata si annulla, quindi: \[ MAX\left(-1;\frac{1}{4}\right) \] \[ MIN\left(1;4\right) \] Calcoliamo l’inclinazione della tangente della funzione per x che tende a zero da sinistra: \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f'\left(x\right)=0 \] quindi la tangente è orizzontale.

Derivata seconda: \[ f'\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\ln2\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}} \] \[ f''\left(x\right)=\ln2\cdot\frac{\ln2\cdot2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}}+2^{\frac{x^{2}+1}{x}}\cdot\frac{2x^{3}-2x^{3}+2x}{x^{4}}}{x^{4}} \] \[ f''\left(x\right)=\frac{\ln2\cdot2^{\frac{x^{2}+1}{x}}}{x^{8}}\left(\ln2\cdot x^{4}-2\ln2\cdot x^{2}+\ln2+2x\right) \] \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln2\cdot x^{4}-2\ln2\cdot x^{2}+\ln2+2x\geq0 \] \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln2\cdot x^{4}-2\ln2\cdot x^{2}\geq-\ln2-2x \] Per via grafica otteniamo la posizione approssimata dei due flessi:

Qui sotto il grafico di f(x):

 

Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Esercizi di riepilogo

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it