In questa pagina trovi 6 problemi svolti di trigonometria con triangoli qualunque, con soluzione passo per passo. Si applicano il teorema dei seni, il teorema del coseno (di Carnot) e la formula dell’area. Per i triangoli rettangoli consulta Trigonometria — Triangoli rettangoli.

Formule principali (triangolo $ABC$ con lati $a$, $b$, $c$ opposti agli angoli $A$, $B$, $C$):

• Teorema dei seni: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
• Teorema del coseno: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
• Area: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$

Teorema dei seni

Esercizio 1

Nel triangolo $ABC$ sono dati $AB = 35$ cm, $AC = 21$ cm e $\tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{4}$. Determina tutti gli elementi incogniti del triangolo.

Soluzione

In notazione standard: lato $c = AB = 35$, lato $b = AC = 21$. L’angolo $B$ soddisfa $\tan B = \dfrac{3}{4}$, da cui $\sin B = \dfrac{3}{5}$, $\cos B = \dfrac{4}{5}$.

Applichiamo il teorema dei seni per trovare l’angolo $C$:

$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \;\Rightarrow\; \frac{21}{\dfrac{3}{5}} = \frac{35}{\sin C} \;\Rightarrow\; 35 = \frac{35}{\sin C} \;\Rightarrow\; \sin C = 1$$

Quindi $C = 90°$: il triangolo è rettangolo in $C$.

Angolo $A$: $A = 90° - B \approx 53°8'$, con $\sin A = \dfrac{4}{5}$, $\cos A = \dfrac{3}{5}$.

Lato $BC = a$ dal teorema di Pitagora (ipotenusa $c = AB = 35$):

$$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{1225 - 441} = \sqrt{784} = 28 \text{ cm}$$
$$P = 21 + 28 + 35 = 84 \text{ cm}, \qquad S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 = 294 \text{ cm}^2$$

Esercizio 2

In un triangolo $ABC$: $A = 30°$, $B = 120°$, $b = 10$ cm. Calcola i lati $a$ e $c$.

Soluzione

$C = 180° - 30° - 120° = 30°$. Poiché $A = C$, il triangolo è isoscele con $a = c$.

Dal teorema dei seni:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \;\Rightarrow\; a = \frac{b\sin A}{\sin B} = \frac{10 \cdot \sin 30°}{\sin 120°} = \frac{10 \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5{,}77 \text{ cm}$$
$$c = a = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5{,}77 \text{ cm}$$
$$S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{3} \approx 14{,}43 \text{ cm}^2$$

Teorema del coseno

Esercizio 3

In un triangolo $ABC$: $a = 5$ cm, $b = 7$ cm, $c = 8$ cm. Calcola tutti gli angoli e l’area.

Soluzione

$$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{49+64-25}{2\cdot 7\cdot 8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \;\Rightarrow\; A \approx 38{,}2°$$
$$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; B = 60°$$
$$C = 180° - 38{,}2° - 60° \approx 81{,}8°$$

Area con la formula di Erone ($s = \dfrac{5+7+8}{2} = 10$):

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32 \text{ cm}^2$$

Esercizio 4

In un triangolo $ABC$: $b = 5$ cm, $c = 8$ cm, $A = 60°$. Calcola il lato $a$ e tutti gli angoli.

Soluzione

Dal teorema del coseno:

$$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A = 25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 89-40 = 49 \;\Rightarrow\; a = 7 \text{ cm}$$

Angolo $B$ dal teorema dei seni:

$$\sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14} \;\Rightarrow\; B \approx 38{,}2°$$
$$C = 180° - 60° - 38{,}2° \approx 81{,}8°$$
$$S = \frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin A = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32 \text{ cm}^2$$

Area e problemi applicativi

Esercizio 5

In un triangolo $ABC$: $a = 4$ cm, $b = 5$ cm, $C = 60°$. Calcola area, lato $c$ e angoli $A$, $B$.

Soluzione

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \text{ cm}^2$$

Lato $c$ dal teorema del coseno:

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C = 16+25-20 = 21 \;\Rightarrow\; c = \sqrt{21} \approx 4{,}58 \text{ cm}$$

Angolo $A$:

$$\sin A = \frac{a\sin C}{c} = \frac{4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}} \approx 0{,}756 \;\Rightarrow\; A \approx 49{,}1°, \quad B \approx 70{,}9°$$

Esercizio 6

Un osservatore misura l’angolo di elevazione di una cima di montagna da due punti $P_1$ e $P_2$ sulla stessa retta orizzontale, distanti 300 m. Da $P_1$ (il più vicino) l’angolo è 45°; da $P_2$ l’angolo è 30°. Calcola l’altezza della montagna.

Soluzione

Sia $h$ l’altezza della montagna e $d$ la distanza orizzontale da $P_1$ alla sua base.

$$\tan 45° = \frac{h}{d} = 1 \;\Rightarrow\; d = h$$
$$\tan 30° = \frac{h}{d+300} = \frac{1}{\sqrt{3}} \;\Rightarrow\; h + 300 = h\sqrt{3}$$
$$h(\sqrt{3}-1) = 300 \;\Rightarrow\; h = \frac{300}{\sqrt{3}-1} = \frac{300(\sqrt{3}+1)}{2} = 150(\sqrt{3}+1) \approx 409{,}8 \text{ m}$$

Conclusione

Nei triangoli qualunque il teorema dei seni si applica quando si conoscono due angoli e un lato oppure due lati e un angolo opposto. Il teorema del coseno è lo strumento giusto con tre lati noti oppure due lati e l’angolo compreso. La formula $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ calcola l’area ogni volta che si conosce l’angolo incluso. Nei problemi applicativi il passaggio chiave è costruire il sistema di equazioni trigonometriche a partire dalla geometria della figura: spesso un secondo angolo di elevazione o un angolo supplementare trasforma un problema apparentemente sovradeterminato in un sistema risolvibile.

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