In questa pagina trovi 8 esercizi svolti di trigonometria con triangoli rettangoli, con soluzione passo per passo. Si applicano le relazioni fondamentali tra lati e angoli: seno, coseno e tangente. Per la teoria di base consulta la sezione Trigonometria.

Formule fondamentali nel triangolo rettangolo (ipotenusa $c$, cateto opposto ad $\alpha$: $a$, cateto adiacente: $b$):

$$\sin\alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan\alpha = \frac{a}{b}$$

Applicazioni del seno

Esercizio 1

In un triangolo rettangolo $ABC$ retto in $C$, l’ipotenusa $AB = 20$ cm e l’angolo $\widehat{BAC} = 30°$. Calcola i cateti $BC$ e $AC$.

Soluzione

L’angolo in $A$ vale $\alpha = 30°$. Il cateto $BC$ è opposto ad $\alpha$, il cateto $AC$ è adiacente.

$$BC = AB \cdot \sin 30° = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}$$
$$AC = AB \cdot \cos 30° = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32 \text{ cm}$$

Esercizio 2

In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 75 cm e il seno dell’angolo opposto a quel cateto vale $\dfrac{15}{17}$. Determina il perimetro e l’altezza relativa all’ipotenusa.

Soluzione

Sia $a = 75$ cm il cateto dato, $\alpha$ l’angolo opposto con $\sin\alpha = \dfrac{15}{17}$.

Dall’identità $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \frac{8}{17}$$

Ipotenusa dalla definizione di seno:

$$c = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{75}{\dfrac{15}{17}} = 75 \cdot \frac{17}{15} = 85 \text{ cm}$$

Secondo cateto:

$$b = c\cos\alpha = 85 \cdot \frac{8}{17} = 40 \text{ cm}$$
$$P = a + b + c = 75 + 40 + 85 = 200 \text{ cm}$$

Area: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 75 \cdot 40 = 1500$ cm².

Altezza relativa all’ipotenusa ($S = \frac{1}{2}c\,h_c$):

$$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{3000}{85} = \frac{600}{17} \approx 35{,}3 \text{ cm}$$

Applicazioni del coseno

Esercizio 3

In un triangolo isoscele la base è lunga 24 cm e il coseno dell’angolo al vertice vale $\dfrac{7}{25}$. Determina le altezze del triangolo.

Soluzione

Sia $ABC$ il triangolo isoscele con $AB = AC = L$ e $BC = 24$ cm (base), angolo al vertice $\widehat{A}$ con $\cos A = \dfrac{7}{25}$.

Dal teorema del coseno:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\cdot AC\cos A = 2L^2\!\left(1 - \frac{7}{25}\right) = 2L^2 \cdot \frac{18}{25}$$
$$576 = \frac{36L^2}{25} \;\Rightarrow\; L^2 = 400 \;\Rightarrow\; L = 20 \text{ cm}$$

Altezza $h_a$ dal vertice $A$ sulla base $BC$ (coincide con la mediana per simmetria):

$$h_a = \sqrt{L^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}$$

Area: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192$ cm².

Altezza $h_b$ dal vertice $B$ sul lato $AB$:

$$h_b = \frac{2S}{L} = \frac{384}{20} = \frac{96}{5} = 19{,}2 \text{ cm}$$

Per simmetria: $h_c = h_b = 19{,}2$ cm.

Esercizio 4

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è $c = 26$ cm e $\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$. Calcola i cateti, il perimetro e l’area.

Soluzione

Dalla terna pitagorica $5$-$12$-$13$: $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$.

$$b = c\cos\alpha = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10 \text{ cm}, \qquad a = c\sin\alpha = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24 \text{ cm}$$
$$P = 10 + 24 + 26 = 60 \text{ cm}, \qquad S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ cm}^2$$

Applicazioni della tangente

Esercizio 5

In un triangolo rettangolo la differenza dei cateti è 7 cm e la tangente dell’angolo opposto al cateto maggiore vale $\dfrac{4}{3}$. Calcola perimetro e area.

Soluzione

Siano $a$ (cateto maggiore) e $b$ (cateto minore), con $\tan\alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{3}$:

$$a = 4k,\quad b = 3k, \quad a - b = k = 7 \;\Rightarrow\; a = 28 \text{ cm},\; b = 21 \text{ cm}$$

Ipotenusa dalla terna $3$-$4$-$5$ scalata di $7$:

$$c = 5 \cdot 7 = 35 \text{ cm}$$
$$P = 28 + 21 + 35 = 84 \text{ cm}, \qquad S = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 21 = 294 \text{ cm}^2$$

Esercizio 6

Il trapezio rettangolo $ABCD$ è retto in $A$ e in $D$. Sapendo che $AB = 32$ cm, $CD = 8$ cm e $\tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{5}{12}$, calcola perimetro, area e $\cos(\widehat{BCD})$.

Soluzione

Poniamo $A=(0,0)$, $B=(32,0)$, $D=(0,h)$, $C=(8,h)$. Nel triangolo rettangolo che ha per base la differenza $AB - CD = 24$ cm e per altezza $h$:

$$\tan(\widehat{ABC}) = \frac{h}{24} = \frac{5}{12} \;\Rightarrow\; h = AD = 10 \text{ cm}$$

Lato obliquo (terna $5$-$12$-$13$ scalata di $2$):

$$BC = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26 \text{ cm}$$
$$P = 32 + 26 + 8 + 10 = 76 \text{ cm}, \qquad S = \frac{1}{2}(32+8)\cdot 10 = 200 \text{ cm}^2$$

Per $\cos(\widehat{BCD})$, con vettori $\overrightarrow{CB} = (24,-10)$ e $\overrightarrow{CD} = (-8,0)$:

$$\cos(\widehat{BCD}) = \frac{24\cdot(-8) + (-10)\cdot 0}{26 \cdot 8} = \frac{-192}{208} = -\frac{12}{13}$$

L’angolo $\widehat{BCD}$ è ottuso, come atteso.

Problemi misti

Esercizio 7

Un edificio è alto 20 m. Sulla sua sommità è posta un’antenna. Da un punto $P$ al suolo, l’angolo di elevazione della cima dell’antenna è 60° e l’angolo di elevazione della base dell’antenna è 45°. Determina la lunghezza dell’antenna e la distanza orizzontale $d$ di $P$ dall’edificio.

Soluzione

Dal triangolo rettangolo con angolo 45° e cateto verticale 20 m:

$$\tan 45° = \frac{20}{d} = 1 \;\Rightarrow\; d = 20 \text{ m}$$

Dal triangolo rettangolo con angolo 60° e cateto verticale $20 + h_a$ (dove $h_a$ è la lunghezza dell’antenna):

$$\tan 60° = \frac{20 + h_a}{20} = \sqrt{3} \;\Rightarrow\; h_a = 20(\sqrt{3}-1) \approx 14{,}6 \text{ m}$$

Esercizio 8

La mediana relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 13 cm e la tangente di uno degli angoli acuti vale $\dfrac{5}{12}$. Trova tutti gli elementi del triangolo.

Soluzione

Proprietà: in un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è uguale alla metà dell’ipotenusa.

$$m_c = \frac{c}{2} = 13 \;\Rightarrow\; c = 26 \text{ cm}$$

Da $\tan\alpha = \dfrac{5}{12}$ e dalla terna $5$-$12$-$13$: $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$, $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$.

$$a = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10 \text{ cm}, \qquad b = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24 \text{ cm}$$
$$\tan\beta = \frac{12}{5}, \qquad P = 60 \text{ cm}, \qquad S = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24 = 120 \text{ cm}^2$$

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