Disequazioni: Esercizi Svolti di Primo e Secondo Grado

Disequazioni

Definizione
Disequazioni di primo grado
Sistemi di disequazioni di primo grado
Disequazioni di secondo grado
Sistemi di disequazioni di secondo grado
Disequazioni di grado superiore

Definizione di disequazione

Definizione La disequazione e’ una diseguaglianza che e’ verificata per certi intervalli di valori Ad esempio la disequazione \(x - 4 0\) e’ verificata per tutti i valori della x maggiori di 4, cioe’ se al posto della x metto 5, 6, oppure 4,111… e’ vero che il primo termine della disuguaglianza e’ maggiore o uguale al secondo

Risolvere una disequazione significa trovare gli intervalli dei valori che sostituiti alla x rendono la diseguaglianza vera

In una disequazione possiamo trovare solo i valori maggiori

\(>\) oppure minori

\(\geq\) oppure minori e uguali

\(\leq\). Occorre fare molta attenzione e considerare sempre se devo o no prendere il valore corrispondente all’uguale

Se fai confusione fra i segni maggiore e minore

Il piu' piccolo e' sempre verso la punta

Il simbolo maggiore deriva dalla teoria degli insiemi Supponiamo di avere due insiemi con oggetti e supponiamo di non saper contare: come facciamo a sapere quale insieme ha il maggior numero di oggetti?

[figura: insieme1.jpg]

[figura: insieme2.jpg]

Cancello un oggetto da un insieme e contemporaneamente faccio un quadratino finche’ non termino gli oggetti, ottengo due colonne

[figura: insieme3.jpg]

[figura: confronto.jpg]

[figura: insieme4.jpg]

Se ora congiungo gli estremi delle colonne ottengo che le congiungenti si intersecano dove c’e’ l’insieme piu’ piccolo Il piu' piccolo e' sempre verso la punta

[figura: confronto2.jpg]

ottengo il simbolo maggiore

[figura: insieme2.jpg]

[figura: confronto3.jpg]

[figura: insieme1.jpg]

Il simbolo minore

[figura: insieme2.jpg]

[figura: confronto1.jpg]

[figura: insieme2.jpg]

Il simbolo uguale

disequazione di primo grado

Una disequazione si dice di primo grado quando le incognite vi compaiono a potenza 1 Ad esempio: \(x + 2y - 3z - 4 3x +2y\) e’ una disequazione di primo grado a tre incognite (x, y e z) Qui e in seguito trattiamo essenzialmente le disequazioni ad una incognita, ma facciamo anche un cenno a quelle a piu’ incognite

Disequazioni di primo grado ad una incognita
Disequazioni di primo grado a due incognite
Disequazioni di primo grado a piu’ incognite (cenno)

disequazione di primo grado ad una incognita

Disequazione di primo grado ad una incognita Una disequazione si dice di primo grado quando la x vi compare a potenza 1 Ad esempio: \(x - 4 3x +2\) e’ una disequazione di primo grado

Per risolvere la disequazione valgono le stesse regole delle equazioni di primo grado con una grossissima differenza

Se moltiplico o divido per un numero negativo devo cambiare di verso la disequazione

Se vuoi sapere il perche’

Porto le x prima dell’uguale ed i numeri dopo l’uguale; chi salta l’uguale cambia di segno. \(x - 3x 2 + 4\) calcolo \(-2x 6\) Divido entrambe i membri per -2 e contemporaneamente cambio di verso la disequazione \(-2x 6 ---- --- -2 -2\) Semplifico \(x - 3\) Quindi la soluzione e’ l’insieme delle x minori od uguali a -3 Si puo’ indicare anche nei seguenti modi: \(x R / x - 3\) oppure \((- , -3]\) od anche

[figura: disequazione01.jpg]

Quest’ultimo metodo di solito e’ il piu’ usato (quando anche il valore terminale e’ compreso vi si mette un tondino)

E’ possibile dare delle disequazioni di primo grado una rappresentazione grafica

Vediamo ora insieme alcuni Esercizi

rappresentazione grafica nelle disequazioni

La rappresentazione grafica delle equazioni e’ fondamentale nella risoluzione di problemi della scelta (programmazione lineare negli Istituti tecnici commerciali ed in generale per matematica finanziaria) Si basa sulla geometria cartesiana e sulla rappresentazione di una retta nel piano cartesiano

Partiamo da un esempio: consideriamo la disequazione x – 2 > 0 Posso anche scriverla come polinomio \(x - 2\)

[figura: retta01.jpg]

per risolvere la disequazione graficamente posso pensare che ho l’intersezione fra l’asse delle x (di equazione y=0) e la funzione \(y = x - 2\) che nel piano cartesiano rappresenta una retta. se hai bisogno di aiuto per tracciare la retta Tale retta taglia l’asse delle x in due parti, una parte in cui il polinomio e’ positivo ed una parte in cui il polinomio e’ negativo La soluzione e’ quella zona dell’asse x che si trova dalla parte richiesta: nel nostro caso e’ la parte dell’asse x a destra di 2 cioe’ x > 2

Esercizi

Esercizi Se hai bisogno di un ripasso Tracciamo retta \(y = x - 2\) devo dare dei valori alla x e leggere i corrispondenti valori per y

[figura: retta02.jpg]

x y 0 -2 2 0 Segno i due punti A(0,-2) e B(2,0) su un piano cartesiano poi li congiungo con una retta

cambiamento di segno e verso nelle disequazioni

Cambiamento di segno e verso nelle disequazioni Consideriamo la retta reale: su di essa possiamo sempre fissare un verso per cui i numeri a destra sono sempre superiori ai numeri a sinistra. Consideriamo ora due numeri qualunque, ad esempio 2 e 5

[figura: disequazione02.jpg]

e la disuguaglianza corrispondente \(2 5\) Se moltiplico per -1 ottengo i due valori -2 e -5 che nella retta reale sono

[figura: disequazione03.jpg]

e la disuguaglianza corrispondente e’ \(-2 -5\) oppure in modo equivalente ( preferibilmente lungo la retta reale si cerca sempre di andare da sinistra verso destra cioe’ scrivo prima i valori piu’ piccoli poi il segno minore e infine i valori piu’ grandi) \(-5 -2\)

Se moltiplico o divido per un numero negativo devo cambiare di verso la disequazione

Sarebbe perfettamente equivalente considerare sulla retta il verso che va da destra verso sinistra ma in matematica sono ormai centinaia di anni che si e’scelto come prevalente il verso da sinistra verso destra ed essendo la matematica abbastanza immune da discussioni politiche perche’ cambiare?

Esercizi sulle disequazioni di primo grado

Esercizi sulle disequazioni di primo grado 1) x + 2 – 2x

\(\leq\) 4x – 8 3) 6x + 12 – 2x

\(>\) 4x – 3 4) x + 2 4x + 3 ——– -2x

\(\geq\) ———- 2 3 5) \((x + 2)^2 - 2x x^2 - 4x - 3 soluzione\)

Esercizio

Esercizio x + 2 – 2x

[figura: disequazione04.jpg]

Esercizio 3x + 2 – 2x

\(\leq\) 4x – 8 Trasporto le x prima dell’uguale, i termini noti dopo l’uguale e chi salta l’uguale cambia di segno 3x – 2x – 4x

\(\leq\) – 8 – 2 sommo -3x

\(\leq\) – 10 divido per -3 e cambio di verso -3x -10 —–

\(\geq\) —- -3 -3 semplifico x

\(\geq\) 10/3 soluzione:

[figura: disequazione05.jpg]

Ho cerchiato il punto per indicare che e’ un valore compreso

Esercizio 6x + 12 – 2x

\(>\) 4x – 3 Trasporto le x prima dell’uguale, i termini noti dopo l’uguale e chi salta l’uguale cambia di segno 6x – 2x – 4x

\(>\) – 3 – 12 sommo 0

\(>\) – 15 Sempre vero (perche’ 0 e’ sempre superiore a -15), quindi tutto R

[figura: disequazione06.jpg]

Esercizio x + 2 4x + 3 ——– -2x

\(\geq\) ———- 2 3 il minimo comune multiplo e’ 6 3·(x + 2) -6·2x 2·(4x + 3) ——————-

\(\geq\) ————- 6 6 Elimino i denominatori ed eseguo le operazioni al numeratore 3x + 6 – 12x

\(\geq\) 8x + 6 Trasporto le x prima dell’uguale, i termini noti dopo l’uguale e chi salta l’uguale cambia di segno 3x – 12x – 8x

\(\geq\) 6 – 6 sommo -17x

\(\geq\) 0 cambio di segno e di verso 17x

\(\leq\) 0 Divido per 17 da entrambe le parti 17x 0 —–

\(\leq\) —- 17 17 x

\(\leq\) 0 soluzione:

[figura: disequazione07.jpg]

il punto e’ cerchiato per indicare che e’ il valore e’ compreso

Esercizio \((x + 2)^2 - 2x x^2 - 4x - 3\) Eseguo i calcoli \(x^2 + 4x + 4 - 2x x^2 - 4x - 3\) Trasporto le x prima dell’uguale, i termini noti dopo l’uguale e chi salta l’uguale cambia di segno \(x^2 + 4x - 2x - x^2 + 4x - 4 - 3\) sommo (essendo esercizi su equazioni di primo grado evidentemente i termini di grado due dovranno annullarsi) 6x

[figura: disequazione08.jpg]

disequazione di primo grado a due incognite

Per poterle risolvere devi conoscere la rappresentazione cartesiana della retta nel piano vedere

Avremo le due incognite x ed y a potenza 1 Ad esempio: \(3x - 2y - 3 2x - y - 2\) e’ una disequazione di primo grado in due incognite

Tieni sempre presente, se devi fare una moltiplicazione, la regola vista nella pagina precedente

Porto tutti i termini prima dell’uguale; chi salta l’uguale cambia di segno. \(3x - 2y - 3 - 2x + y + 2 0\) calcolo \(x - y - 1 0\) Considero la funzione \(x - y - 1 = 0\):

[figura: retta07.jpg]

essa nel piano cartesiano rappresenta una retta che divide il piano in due parti In una delle due parti allora l’espressione \(x - y - 1\) sara’ positiva, mentre nell’altra parte sara’ negativa Per decidere in quale delle due parti e’ positiva basta sostituire ad x e ad y un valore di qualunque punto che si trovi in una delle due parti; ad esempio considero il punto origine \(O (0;0)\) e sostituisco zero ad x e ad y; ottengo: 0 + 0 – 1 < 0 quindi nella parte dove e’ l’origine l’espressione e’ negativa mentre nell’altra parte l’espressione e’ positiva L’espressione nulla e’ rappresentata dai punti della retta La soluzione alla nostra disequazione e’ quindi rappresentata dal semipiano che si trova sotto la retta (retta compresa)

disequazione di primo grado a piu' incognite (cenni)

Disequazione di primo grado a piu' incognite (cenno) Con 3 incognite potremo ancora rifarci ad una rappresentazione geometrica: Un’espressione tipo \(x + y + z - 1 0\) si puo’ risolvere pensando che la funzione \(x + y + z - 1 = 0\): rappresenta un piano nello spazio a 3 dimensioni ed il piano divide lo spazio in due semispazi In una dei due semispazi allora l’espressione \(x + y + z - 1\) sara’ positiva, mentre nell’altra parte sara’ negativa Anche qui per decidere in quale delle due parti e’ positiva basta sostituire ad x, y e z un valore di qualunque punto che si trovi in una delle due parti (di solito conviene sostituire l’origine).

Per analogia, anche se non e’ piu’ possibile farsene una rappresentazione geometrica, si procedera’ con 4, 5,..n incognite; in tal caso l’espressione uguagliata a zero rappresentera’ un iperpiano nell’iperspazio a 4, 5,..n dimensioni e l’iperpiano dividera’ l’iperspazio in due semiiperspazi: In uno dei semiiperspazi l’espressione risultera’ positiva e nell’altro risultera’ negativa.

Questi argomenti troveranno applicazioni nella programmazione lineare utilizzando il metodo del simplesso per risolvere problemi di minimo o massimo

sistemi di disequazioni di primo grado

Sistemi di disequazioni di primo grado Un sistema di disequazioni e’ un insieme di disequazioni che valgono contemporaneamente. Il sistema si dice di primo grado quando le disequazioni che lo compongono sono di primo grado Per risolvere un sistema basta risolvere le disequazioni che lo compongono poi considerare le soluzioni che vanno bene per tutte le disequazioni Ad esempio risolviamo:

\(2x + 14 12 + x 3x - 2 7\) Sposto i termini con x prima dell’uguale, quelli noti dopo l’uguale cambiando di segno quelli che saltano l’uguale

\(2x - x 12 - 14 3x 7 + 2\) sommo

\(x - 2 3x 9\)

\(x - 2 x 3\) la soluzione e’ \(-2 x 3\) o meglio

[figura: disequazione09.jpg]

Come vedi i sistemi sono semplici, un po’ piu’ difficile e’ la loro applicazione

applicazione dei sistemi di primo grado

Applicazioni dei sistemi di disequazioni di primo grado In genere i sistemi di disequazioni di primo grado vengono usati per trovare il segno di espressioni piu’ complesse ma in genere le espressioni si possono ridurre a pochi tipi fondamentali

espressioni prodotto di due espressioni elementari
espressioni quoziente di due espressioni elementari
disequazioni con moduli

segno di espressioni prodotto di due espressioni
elementari

Segno di espressioni prodotto di due o piu' espressioni elementari Vediamo di ragionare su un esempio pratico Consideriamo un’espressione del tipo \(x^2 - 6x + 8 > 0\) Voglio trovare l’insieme dei valori che posso assegnare alla x perche’ l’espressione sia maggiore di zero Considero l’equazione associata \(x^2 - 6x + 8 = 0\) Risolvo \(6 (6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8) x_{1,2} = ---------------------- calcoli 2 x_1 = 2 x_2 = 4\) allora posso sostituire la disequazione di partenza con l’espressione equivalente (x-2)(x-4)>0 Essendo questa espressione prodotto di due termini sara’ maggiore di zero quando i due termini che la compongono hanno lo stesso segno, cioe’ entrambe maggiori di zero oppure entrambi minori di zero. Quindi dovrei risolvere i due sistemi:

x – 2 > 0 x – 4 > 0

\(x - 2 x - 4\)

Capisci che questo sarebbe un metodo molto pesante, soprattutto se invece del prodotto di due termini l’espressione fosse il prodotto di 3,4,5… termini. Allora mettiamo in un grafico il segno di ognuno dei termini e poi scegliamo gli intervalli dove i segni sono concordi (entrambe positivi od entrambe negativi)

Poniamo sempre tutti i fattori componenti maggiori di zero per trovare i segni, indicando poi su un grafico dove sono positivi e dove negativi; poi se dovremo risolvere una disequazione positiva prenderemo gli intervalli dove il prodotto e’ positivo; se dobbiamo cercare dove la disequazione e’ negativa prenderemo gli intervalli dove il prodotto dei fattori diventa negativo

Risolvo la prima disequazione x – 2 > 0 x > 2il primo fattore e’ positivo per x maggiore di due Risolvo la seconda x – 4 > 0 x > 4il secondo fattore e’ positivo per x maggiore di quattro faccio lo schema Hai bisogno di aiuto per fare lo schema? x > 2 – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x > 4 – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2) – – – – – (4) + + + + + + + + + L’espressione e’ positiva dove i due fattori sono entrambe positivi ed anche dove sono entrambe negativi, quindi avremo x < 2 V x > 4 oppure in altra notazione

[figura: disequazione10.jpg]

in tal caso si intende positivo dove si indica con la linea intera e negativo ove la linea manca (oppure qualche professore preferisce farla tratteggiata). Invece di SOL (soluzione) di solito si preferisce mettere f(x)

Ricapitolando: Se devi risolvere una disequazione di grado superiore

Devi considerare l’equazione associata e risolverla per trovare le soluzioni
Devi poi scomporre la disequazione in prodotto di fattori di primo grado
Poni tutte i fattori di primo grado maggiori di zero
Costruisci un grafico dove metti tutti i valori positivi e negativi trovati
In fondo al grafico fai il calcolo dei segni del prodotto fra i singoli fattori
Se la disequazione e’ maggiore di zero consideri come soluzione i valori in cui il prodotto dei fattori e’ positivo
Se la disequazione e’ minore di zero consideri come soluzione i valori in cui il prodotto dei fattori e’ negativo

Piu’ avanti, quando avremo visto le regole per risolvere le disequazioni di secondo grado scomporremo le disequazioni di grado superiore come prodotto di fattori composti da equazioni (polinomi) sia di primo che di secondo grado

Approfondimento per disequazioni con

\(\geq\) o con

\(\leq\) e con un termine di grado superiore ad 1: Se abbiamo disequazioni dove dobbiamo studiare anche il caso di uguaglianza a zero e’ necessario distinguere fra l’equazione e la disequazione e risolvere sia l’equazione che la disequazione e quindi considerare entrambe i risultati: Normalmente, se abbiamo tutti fattori di primo grado, si procede senza farci troppo caso, in questo modo risolvo gli esercizi 2,3 e 4 Invece, nell’esercizio 5, la presenza del fattore x\(^{^2}\) puo’ generare errore ed e’ effettivamente necessario dividere l’equazione e la disequazione

Vediamo alcuni esercizi

x\(^2\) + 2x – 3

x\(^2\) – 3x – 10

x\(^4\) – 5x\(^2\) + 4

x\(^2\)(x-1)

x\(^2\) – x – 6 < 0
\(\leq\) 0
\(\geq\) 0
\(\geq\) 0
\(\geq\) 0

Come costruire lo schema

Come costruire lo schema Pongo che i due termini del prodotto siano maggiori di zero: x – 2 > 0 x – 4 > 0 Comincio dal primo:x – 2 > 0 risolvo come fosse un’equazione: porto il numero dall’altra parte cambiandolo di segno x > 2 cioe’ partendo da sinistra prima di 2 indico – e dopo 2 indico + x > 2 – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + +

Ora prendo x – 4 > 0 risolvo come fosse un’equazione: porto il numero dall’altra parte cambiandolo di segno x > 4 cioe’ partendo da sinistra prima di 4 indico – e dopo 4 indico + x > 2 – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x > 4 – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + +

Ora l’espressione e’ il prodotto dei fattori considerati Espressione \(= (x-2)(x-4)\) quindi il segno dell’espressione si otterra’ con il prodotto dei segni dei fattori Partendo da sinistra prima di due il primo fattore e’ negativo ed il secondo e’ negativo, allora il prodotto e’ positivo (meno per meno uguale piu’) x > 2 – – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x > 4 – – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2)

Tra 2 e 4 il primo fattore e’ positivo ed il secondo e’ negativo (piu’ per meno uguale meno) quindi l’espressione e’ negativa x > 2 – – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x > 4 – – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2) – – – – – (4)

oltre 4 sia il primo che il secondo fattore e’ positivo quindi l’espressione sara’ positiva (piu’ per piu’ uguale piu’) x > 2 – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x > 4 – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2) – – – – – (4) + + + + + + + + +

Risolviamo l’equazione: \(x^2 - 6x + 8 = 0\) Risolvo 6

\(\pm\)

[figura: radicearossa.jpg]

(6\(^2\) – 4·1·8) x\(_{1,2}\) = ———————- 2 6

\(\pm\)

[figura: radicearossa.jpg]

(36 – 32) x\(_{1,2}\) = ——————– 2 6

\(\pm\)

[figura: radicearossa.jpg]

4 x\(_{1,2}\) = ———— 2 6

\(\pm\) 2 x\(_{1,2}\) = ———- 2 x\(_1\) = 2 x\(_2\) = 4

Esercizio x\(^2\) – x – 6 Considero l’equazione associata \(x^2 - x - 6 = 0 Risolvo x_1 = -2 x_2 = 3\) Quindi la disequazione e’ equivalente a (x+2) (x-3) Devo risolvere le due disequazioni (x+2) > 0 (x-3) > 0 e considerare dove i segni sono discordi (piu’ per meno da’ meno) perche’ devo trovare i valori dove tutta l’espressione e’ negativa Risolvo la prima: x + 2 > 0 x > -2 il primo fattore e’ positivo per x maggiore di meno due Risolvo la seconda x – 3 > 0 x > 3 il secondo fattore e’ positivo per x maggiore di 3 faccio lo schema x > -2 – – – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + x > 3 – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + \(f(x) + + + + + (-2) - - - - - - (3) + + + + + + + + +\) se hai bisogno di ulteriori spiegazioni per fare lo schema f(x) indica l’espressione di partenza La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto Io devo cercare dove l’espressione e’ negativa e questo succede per -2 < x < 3 oppure in altra notazione

[figura: disequazione11.jpg]

Calcoli

Calcoli 1

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

1\(^2\) – 4·1·(-6) x\(_{1,2}\) = ————————– 2 1

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

(1 + 24) x\(_{1,2}\) = —————— 2 1

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

25 x\(_{1,2}\) = —————— 2 1

\(\pm\) 5 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 3 x\(_2\) = -2

Per calcolare il segno dell’espressione (x+2) (x-3) < 0 devi fare il prodotto dei segni di (x+2) e di (x-3) li pongo entrambe maggiori di zero

Porre (x+2) > 0 equivale a dire x > -2 Porre (x-3) > 0 equivale a dire x > 3

x > -2 – – – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + x > 3 – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + \(f(x) + + + + + (-2) - - - - - - (3) + + + + + + + + +\)

per x < -2 abbiamo x + 2 negativa ed x - 3 negativa quindi il loro prodotto fx) = (x + 2)(x - 3) e' positivo (meno per meno fa piu')

per -2 < x < 3 abbiamo x + 2 positiva ed x - 3 negativa quindi il loro prodotto e' negativo (piu' per meno da' meno)

per x > 3 abbiamo x + 2 positiva ed x – 3 positiva quindi il loro prodotto e’ positivo (piu’ per piu’ fa piu’)

Siccome devo cercare dove il prodotto f(x)= (x + 2)(x – 3) risulta minore di zero allora la soluzione sara’ -2 < x < 3

devo trovare il segno dell’espressione \(x^2 + x - 6 = (x+2) (x-3)\) La chiamo f(x) scrivere (x+2) > 0 oppure x > -2 e’ equivalente scrivere (x-3) > 0 oppure x > 3 e’ equivalente faccio lo schema x > -2 – – – – – (-2) + + + + + + + + + + + + + + + + x > 3 – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + Ora devo trovare il segno di f(x) cioe’ del prodotto delle due righe Faccio il calcolo dei segni:

quando x < -2 sia (x+2) che (x-3) sono negative quindi il prodotto f(x) = (x+2)(x-3) sara' positivo (meno per meno da' piu') x > -2 – – – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + x > 3 – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + f(x) + + + + + (-2) scrivo cosi' (in rosso)

Se prendiamo l’intervallo -2 < x < 3 l'espressione (x+2) e' positiva mentre (x+3) e' negativa quindi il prodotto f(x) = (x+2)(x-3) sara' negativo (piu' per meno da' meno) x > -2 – – – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + x > 3 – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + f(x) + + + + + (-2) – – – – – – (3) scrivo cosi' (in rosso)

infine, per l’intervallo x > 3 l’espressione (x+2) e’ positiva ed anche (x-3) e’ positiva quindi il prodotto f(x) = (x+2)(x-3) sara’ positiva (piu’ per piu’ da’ piu’) x > -2 – – – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + x > 3 – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + \(f(x) + + + + + (-2) - - - - - - (3) + + + + + + + + +\)

ed e’ il risultato finale (in rosso) che mi da’ il segno della funzione, cioe’ mi indica dove la funzione e’ positiva e dove e’ negativa

Esercizio \(x^2 + 2x - 3 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 + 2x - 3 = 0 Risolvo x_1 = -3 x_2 = 1\) Quindi la disequazione e’ equivalente a (x-1) (x+3)

\(\leq\) 0 Devo risolvere le due disequazioni (x-1)

\(\geq\) 0 (x+3)

\(\geq\) 0 e considerare dove i segni sono discordi perche’ devo trovare i valori dove tutta l’espressione e’ negativa, inoltre devo anche vedere dove l’espressione si annulla Risolvo la prima: x – 1

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) 1 il primo fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a uno Risolvo la seconda x + 3

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) -3 il secondo fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a meno 3 faccio lo schema x

\(\geq\) 1 – – – – – – – – – – – – – – – (1)+ + + + + + + + + x

\(\geq\) -3 – – – – – – (-3) + + + + + + + + + + + + + + + \(f(x) + + + + (-3) - - - - - - (1) + + + + + + + + +\) f(x) indica l’espressione di partenza La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto Io devo cercare dove l’espressione e’ negativa o nulla e questo succede per -3

\(\leq\) x

\(\leq\) 1 oppure in altra notazione

[figura: disequazione13.jpg]

Calcoli \(x^2 + 2x - 3 = 0\) Usando la formula completa: -2

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

[(-2)\(^2\) – 4·1·(-3)] x\(_{1,2}\) = ————————– 2 -2

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

(4 + 12) x\(_{1,2}\) = —————— 2 -2

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

16 x\(_{1,2}\) = —————— 2 -2

\(\pm\) 4 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 1 x\(_2\) = -3

oppure usando la formula ridotta: \(x^2 + 2x - 3 = 0 -1 [(-1)^2 - 1 \cdot (-3)] x_{1,2} = -------------------------- 1 x_{1,2} = -1 (1+3) x_{1,2} = -1 4 x_{1,2} = -1 2 x_1 = 1 x_2 = -3\)

Esercizio \(x^2 - 3x - 10 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - 3x - 10 = 0 Risolvo x_1 = -2 x_2 = 5\) Quindi la disequazione e’ equivalente a (x+2) (x-5)

\(\geq\) 0 Devo risolvere le due disequazioni (x+2)

\(\geq\) 0 (x-5)

\(\geq\) 0 e considerare dove i segni sono concordi perche’ devo trovare i valori dove tutta l’espressione e’ positiva, inoltre devo anche vedere dove l’espressione si annulla Risolvo la prima: x + 2

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) -2 il primo fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a – 2 Risolvo la seconda x – 5

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) 5 il secondo fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a 5 faccio lo schema x

\(\geq\) -2 – – – – – – (-2) + + + + + + + + + + + + + + + x

\(\geq\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – (5)+ + + + + + + + + \(f(x) + + + + (-2) - - - - - - (5) + + + + + + + + +\) f(x) indica l’espressione di partenza La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto Io devo cercare dove l’espressione e’ positiva o nulla e questo succede per x

\(\leq\) -2 ed anche per (unione) x

\(\geq\) 5 oppure in altra notazione

[figura: disequazione14.jpg]

Calcoli \(x^2 - 3x - 10 = 0\) Usando la formula completa: 3

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

[(3)\(^2\) + 4·1·(10)] x\(_{1,2}\) = ————————– 2 3

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

(9 + 40) x\(_{1,2}\) = —————— 2 3

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

49 x\(_{1,2}\) = —————— 2 3

\(\pm\) 7 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 5 x\(_2\) = -2

Esercizio \(x^4 - 5x^2 + 4 0\) Considero l’equazione associata \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0 Si tratta di un'equazione biquadratica Risolvo x_1 = -2 x_2 = -1 x_3 = 1 x_4 = 2\) Quindi la disequazione e’ equivalente a (x+2) (x+1) (x-1) (x-2)

\(\geq\) 0 Devo risolvere le quattro disequazioni (x+2)

\(\geq\) 0 (x+1)

\(\geq\) 0 (x-1)

\(\geq\) 0 (x-2)

\(\geq\) 0 e considerare dove il prodotto dei segni da’ un risultato positivo perche’ devo trovare i valori dove tutta l’espressione e’ positiva, inoltre devo anche vedere dove l’espressione si annulla Risolvo la prima: x + 2

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) -2 il primo fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a – 2 Risolvo la seconda x + 1

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) -1 il secondo fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a -1 Risolvo la terza x – 1

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) 1 il terzo fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a 1 Risolvo la quarta x – 2

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) 2 il quarto fattore e’ positivo o nullo per x maggiore o uguale a 2 faccio lo schema (l’unica differnza con gli esercizi precedenti e’ che devo fare piu’ righe)

\(\geq\) -2 – – – – (-2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(\geq\) -1 – – – – – – – – – – – – (-1) + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(\geq\) 1 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (1) + + + + + + + + + + + x

\(\geq\) 2 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (2) + + + + + + f(x) + + + (-2) – – – – – (-1) + + + + (1) – – – – – (2) + + + + + + +

f(x) indica l’espressione di partenza La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto Io devo cercare dove l’espressione e’ positiva o nulla e questo succede per x

\(\leq\) -2 U -1

\(\leq\) x

\(\leq\) 1 U x

\(\geq\) 2 oppure in altra notazione

[figura: disequazione15.jpg]

Calcoli x\(^4\) – 5x\(^2\) + 4 = 0 E’ un’equazione biquadratica: pongo \(x^2 = y x^4 = y^2\) quindi devo risolvere \(y^2 -5y + 4 = 0\) Uso la formula risolutiva: 5

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

[(5)\(^2\) – 4·1·4] y\(_{1,2}\) = ————————– 2 5

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

(25 – 16) y\(_{1,2}\) = —————— 2 5

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

9 y\(_{1,2}\) = —————— 2 5

\(\pm\) 3 y\(_{1,2}\) = ————- 2 y\(_1\) = 4 y\(_2\) = 1 Ora devo trovare la x quindi devo risolvere le due equazioni \(x^2 = 4 x^2 = 1\) la prima mi da’ le soluzioni \(x_1 = +2 x_2 = -2\) la seconda mi da’ le soluzioni \(x_1 = +1 x_2 = -1\) Ordinandole per grandezza \(x_1 = -2 x_2 = -1 x_3 = 1 x_4 = 2\)

Esercizio \(x^2(x-1) 0\) L’espressione e’ composta dalle due parti \(x^2 ed (x-1)\) In questo caso se risolvo nel modo “veloce” ottengo \(x^2 0 x-1 0\) \(x 0\) essendo un quadrato la disequazione e’ sempre valida (x-1)

\(\geq\) 0 x

\(\geq\) 1 Se vado a fare lo schema ottengo:

\(x 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + +\) f(x) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (1) + + + + + + + + + + +

In questo schema manca la soluzione x=0 che evidentemente risolve la disequazione: Il metodo giusto per risolvere questa disequazione e’:

1) risolvo l’equazione associata 2) risolvo la disequazione associata 3) unisco i risultati ottenuti

facciamolo: 1) Risolvo l’equazione associata: \(x^2(x-1) = 0\) ottengo le soluzioni \(x = 0 x=1\) 2) Risolvo la disequazione associata visto che l’ho risolta sopra metto solo l’ultimo passaggio

\(x > 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x > 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 + + + + + + + + + + +\) f(x) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 1 + + + + + + + + + + +

ottengo le soluzioni x > 1 3) Unisco le soluzioni trovate ed ottengo \(x = 0 U x 1\)

segno di espressioni quoziente di due espressioni
elementari

Segno di espressioni quoziente di due espressioni elementari Vediamo di ragionare su un esempio pratico Consideriamo un’espressione del tipo \(x - 2 ------ 0 x - 4\) Voglio trovare l’insieme dei valori che posso assegnare alla x perche’ l’espressione sia minore di zero Essendo questa espressione quoziente di due termini sara’ minore di zero quando i due termini che la compongono hanno segno diverso, cioe’una maggiore di zero e l’altra minore oppure viceversa.

per il segno di un quoziente valgono le stesse regole che per il prodotto: piu’ diviso piu’ uguale piu’ piu’ diviso meno uguale meno meno diviso piu’ uguale meno meno diviso meno uguale piu’

Quindi dovrei risolvere i due sistemi:

x – 2 > 0 x – 4

x – 2 x – 4 > 0

Poniamo sempre tutti i fattori componenti maggiori di zero per trovare i segni, indicando poi su un grafico dove sono positivi e dove negativi; poi se dovremo risolvere una disequazione positiva prenderemo gli intervalli dove il quoziente e’ positivo; se dobbiamo cercare dove la disequazione e’ negativa prenderemo gli intervalli dove il prodotto dei fattori diventa negativo

Risolvo la prima disequazione x – 2 > 0 x > 2il primo fattore e’ positivo per x maggiore di due Risolvo la seconda x – 4 > 0 x > 4il secondo fattore e’ positivo per x maggiore di quattro faccio lo schema Hai bisogno di aiuto per fare lo schema? x 2 – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x 4 – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2) – – – – – (4) + + + + + + + + + L’espressione e’ negativa dove i due fattori sono uno positivo ed uno negativo, quindi avremo 2

[figura: disequazione12.jpg]

Ricapitolando:

Se devi risolvere una disequazione fratta

Poni il numeratore ed il denominatore maggiori di zero
Costruisci un grafico dove metti tutti i valori positivi e negativi trovati
In fondo al grafico fai il calcolo dei segni del quoziente fra i singoli fattori
Se la disequazione e’ maggiore di zero consideri come soluzione i valori in cui il quoziente dei fattori e’ positivo
Se la disequazione e’ minore di zero consideri come soluzione i valori in cui il quoziente dei fattori e’ negativo

Vediamo alcuni esercizi

x – 3 ——–

x – 4 ———

x\(^2\) – 3x – 10 —————

x\(^2\) – 5x + 6 —————

\(>\) 0 x + 1
\(\leq\) 0 x + 2
\(\geq\) 0 x – 1
\(\geq\) 0 x\(^2\) – 4x – 5

Come costruire lo schema Pongo che i due termini del quoziente siano maggiori di zero: x – 2 > 0 x – 4 > 0 Comincio dal primo:x – 2 > 0 risolvo come fosse un’equazione: porto il numero dall’altra parte cambiandolo di segno x > 2 cioe’ partendo da sinistra prima di 2 indico – e dopo 2 indico + \(x 2 - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + + + +\)

Ora prendo x – 4 > 0 risolvo come fosse un’equazione: porto il numero dall’altra parte cambiandolo di segno x > 4 cioe’ partendo da sinistra prima di 4 indico – e dopo 4 indico + x 2 – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x 4 – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + +

Ora l’espressione e’ il quoziente dei fattori considerati \((x-2)\) Espressione \(= --------- (x-4)\) quindi il segno dell’espressione si otterra’ con il quoziente dei segni dei fattori (e’ identica alla regola per il prodotto) Partendo da sinistra prima di due il primo fattore e’ negativo ed il secondo e’ negativo, allora il quoziente e’ positivo (meno diviso meno uguale piu’) x 2 – – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x 4 – – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2)

Tra 2 e 4 il primo fattore e’ positivo ed il secondo e’ negativo (piu’ diviso meno uguale meno) quindi l’espressione e’ negativa x 2 – – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x 4 – – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2) – – – – – (4)

oltre 4 sia il primo che il secondo fattore e’ positivo quindi l’espressione sara’ positiva (piu’ diviso piu’ uguale piu’) x 2 – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + x 4 – – – – – – – – – – – – (4) + + + + + + + + + Espressione + + + + (2) – – – – – (4) + + + + + + + + +

Esercizio x – 3 ——–

\(>\) 0 x + 1 Pongo sia il numeratore che il denominatore maggiori di zero x – 3

\(>\) 0 x + 1

\(>\) 0 Risolvo x

\(>\) 3 x

\(>\) -1 faccio lo schema x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – (3)+ + + + + + + + + x

\(>\) -1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + \(f(x) + + + + ]-1[ - - - - - - (3) + + + + + + + + +\) f(x) indica l’espressione di partenza La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto mentre la quadra indica che il valore non e’ accettabile ]-1[ non e’ accettabile perche’ annulla il denominatore e non si puo’ mai dividere per zero Io devo cercare dove l’espressione e’ positiva e questo succede per x

\(>\) 3 oppure in altra notazione

[figura: disequazione16.jpg]

Esercizio x – 4 ———

\(\leq\) 0 x + 2 Pongo sia il numeratore che il denominatore maggiori di zero (si fa sempre cosi’ anche se devo trovare dove l’espressione e’ minore od uguale a zero) x – 4

\(\geq\) 0 x + 2

\(>\) 0 Ho posto il numeratore maggiore od uguale a zero perche’ stavolta devo cercare anche i valori dove l’espressione vale zero ed una frazione e’ zero quando sopra (il numeratore) e’ zero. Invece il denominatore non potra’ mai essere uguale a zero Risolvo x

\(\geq\) 4 x

\(>\) -2 faccio lo schema x

\(>\) 4 – – – – – – – – – – – – – – (4)+ + + + + + + + + x

\(>\) -2 – – – – – – ]-2[ + + + + + + + + + \(f(x) + + + + ]-2[ - - - - - - (4) + + + + + + + + +\) f(x) indica l’espressione di partenza La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto mentre la quadra indica che il valore non e’ accettabile ]-2[ non e’ accettabile perche’ annulla il denominatore e non si puo’ mai dividere per zero Io devo cercare dove l’espressione e’ negativa o nulla e questo succede per x maggiore di – 2 ed x minore od uguale a 4 -2

\(\leq\) 4 (-2 lo devo scartare mentre devo accettare 4) oppure in altra notazione

[figura: disequazione17.jpg]

Esercizio \(x^2 - 3x - 10 --------------- 0 x - 1\) Pongo sia il numeratore che il denominatore maggiori di zero, anzi il numeratore maggiore od uguale a zero ed il denominatore solo maggiore di zero \(x^2 - 3x - 10 0 x - 1 0\) Non avendo ancora fatte le disequazioni di secondo grado scompongo il numeratore, ottengo (x+2)(x-5)

\(\geq\) 0 quindi risolvendo tutto x + 2

\(\geq\) 0 x – 5

\(\geq\) 0 x – 1

\(>\) 0 calcolando x

\(\geq\) -2 x

\(\geq\) 5 x

\(>\) 1 faccio lo schema x

\(>\) -2 – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (5)+ + + + + + + + x

\(>\) 1 – – – – – – – – – – – – – ]1[ + + + + + + + + + + + + + + f(x) – – – – – (-2) + + + + ]1[ – – – – – – (5) + + + + + + + se hai bisogno di aiuto per leggere lo schema La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto mentre la quadra indica che il valore non e’ accettabile Io devo cercare dove l’espressione e’ positiva o nulla e questo succede tra -2 ed 1 e oltre 5 -2

\(\leq\) x

\(\geq\)5 (devo scartare 1 perche’ annullerebbe il denominatore) oppure in altra notazione

[figura: disequazione18.jpg]

Scomponiamo il polinomio x\(^2\) – 3x – 10

Posso farlo o con il metodo di scomposizione (trovare due numeri la cui somma algebrica e’ -3 ed il prodotto e’ -10) x\(^2\) – 3x – 10 = (x + 2) (x – 5)

oppure considerando l’equazione associata \(x^2 - 3x - 10 = 0\) trovare le soluzioni dell’equazione, quindi applicare la decomposizione del trinomio \(x^2 - 3x - 10 = 0 Trovo le soluzioni x_1 = -2 x_2 = 5\) Quindi \(x^2 - 3x - 10 = (x+2) (x-5)\)

leggere il grafico x

\(>\) -2 – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (5)+ + + + + + + + x

\(>\) 1 – – – – – – – – – – – – – ]1[ + + + + + + + + + + + + + + devo calcolare il prodotto dei segni delle prime tre righe (per calcolare i segni il prodotto ed il quoziente hanno le stesse regole quindi posso considerare come fosse tutto prodotto)

per x

\(>\) -2 – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (5)+ + + + + + + + x

\(>\) 1 – – – – – – – – – – – – – ]1[ + + + + + + + + + + + + + + \(f(x) - - - - - (-2)\)

per -2

\(>\) -2 – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (5)+ + + + + + + + x

\(>\) 1 – – – – – – – – – – – – – ]1[ + + + + + + + + + + + + + + f(x) – – – – – (-2) + + + + ]1[

per 1

\(>\) -2 – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (5)+ + + + + + + + x

\(>\) 1 – – – – – – – – – – – – – ]1[ + + + + + + + + + + + + + + f(x) – – – – – (-2) + + + + ]1[ – – – – – – (5)

per x

\(>\) -2 – – – – – (-2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (5)+ + + + + + + + x

\(>\) 1 – – – – – – – – – – – – – ]1[ + + + + + + + + + + + + + + f(x) – – – – – (-2) + + + + ]1[ – – – – – – (5) + + + + + + +

Esercizio \(x^2 - 5x + 6 --------------- 0 x^2 - 4x - 5\) Pongo sia il numeratore che il denominatore maggiori di zero, anzi il numeratore maggiore od uguale a zero ed il denominatore solo maggiore di zero \(x^2 - 5x + 6 0 x^2 - 4x - 5 0\) Non avendo ancora fatte le disequazioni di secondo grado scompongo sia il numeratore che il denominatore, ottengo (x – 2)(x – 3)

\(\geq\) 0 (x – 5)(x + 1)

\(\geq\) 0 quindi pongo ogni fattore maggiore di zero x – 2

\(\geq\) 0 x – 3

\(\geq\) 0 x – 5

\(>\) 0 x + 1

\(>\) 0 calcolando x

\(\geq\) 2 x

\(\geq\) 3 x

\(>\) 5 x

\(>\) -1 faccio lo schema x

\(>\) 2 – – – – – – – – – – – – – – (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ]5[+ + + + x

\(>\) 1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x) + + + + ]-1[ – – – – – (2) + + + + (3) – – – – – -]5[ + + + + + se hai bisogno di aiuto per leggere il grafico La parentesi tonda indica che l’espressione si annulla nel punto mentre la quadra indica che il valore non e’ accettabile Io devo cercare dove l’espressione e’ positiva o nulla e questo succede prima di -1 poi tra 2 e 3 ed infine oltre 5 x

\(\leq\) x

\(\leq\) 3 U x

\(>\)5 oppure in altra notazione

[figura: disequazione19.jpg]

Scomponiamo i polinomi \(x^2 - 5x + 6 x^2 - 4x - 5\) facciamolo col metodo delle equazioni di secondo grado

scomponiamo la prima: consideriamo l’equazione associata \(x^2 - 5x + 6 = 0\) trovo le soluzioni dell’equazione, quindi applico la decomposizione del trinomio usando la formula completa: 5

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

[(5)\(^2\) – 4·1·(6)] x\(_{1,2}\) = ————————– 2 5

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

(25-24) x\(_{1,2}\) = —————— 2 5

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

1 x\(_{1,2}\) = —————— 2 5

\(\pm\) 1 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 3 x\(_2\) = 2 Quindi \(x^2 - 5x + 6 = (x-2) (x-3)\)

scomponiamo la seconda: consideriamo l’equazione associata \(x^2 - 4x - 5 = 0\) trovo le soluzioni dell’equazione, quindi applico la decomposizione del trinomio usando la formula completa: qui sarebbe meglio usare la formula ridotta 4

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

[(4)\(^2\) + 4·1·(5)] x\(_{1,2}\) = ————————– 2 4

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

(16 + 20) x\(_{1,2}\) = —————— 2 4

\(\pm\)

[figura: radiceablu.jpg]

36 x\(_{1,2}\) = —————— 2 4

\(\pm\) 6 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 5 x\(_2\) = -1 Quindi \(x^2 - 4x - 5 = (x+1) (x-5)\)

\(x^2 - 4x - 5 = 0 Uso la formula ridotta x_{1,2} = 2 [(2)^2 - 1 \cdot (-5)] x_{1,2} = 2 (4+5) x_{1,2} = 2 9 x_{1,2} = 2 3 x_1 = 5 x_2 = -1\) Quindi \(x^2 - 4x - 5 = (x+1) (x-5)\)

nota come i calcoli sono piu’ semplici

leggere il grafico x

\(>\) 2 – – – – – – – – – – – – – – (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ]5[+ + + + x

\(>\) 1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + devo calcolare il prodotto dei segni delle prime quattro righe (per calcolare i segni il prodotto ed il quoziente hanno le stesse regole quindi posso considerare come fosse tutto prodotto)

per x

\(>\) 2 – – – – – – – – – – – – – – (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ]5[+ + + + x

\(>\) 1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x) + + + + ]-1[

per -1

\(>\) 2 – – – – – – – – – – – – – – (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ]5[+ + + + x

\(>\) 1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x) + + + + ]-1[ – – – – – (2)

per 2

\(>\) 2 – – – – – – – – – – – – – – (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ]5[+ + + + x

\(>\) 1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x) + + + + ]-1[ – – – – – (2) + + + + (3)

per 3

\(>\) 2 – – – – – – – – – – – – – – (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ]5[+ + + + x

\(>\) 1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x) + + + + ]-1[ – – – – – (2) + + + + (3) – – – – – -]5[

infine per x

\(>\) 5 abbiamo: tutti i segni sono positivi (il prodotto dei segni fa piu’) la funzione e’ positiva x

\(>\) 2 – – – – – – – – – – – – – – (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + x

\(>\) 3 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + + x

\(>\) 5 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ]5[+ + + + x

\(>\) 1 – – – – – – ]-1[ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x) + + + + ]-1[ – – – – – (2) + + + + (3) – – – – – -]5[ + + + + +

disequazioni con moduli

Disequazioni con moduli La trattazione del modulo e’ sempre la stessa sia che si tratti di equazioni di primo grado, che di disequazioni. In pratica devi suddividere la retta reale in parti e in ogni parte devi considerare la disequazione (l’equazione) tale che la parte interna del modulo sia maggiore di zero. Accetterai pero’ solo le soluzioni che cadono entro gli intervalli in cui sono valide le disequazioni (le equazioni)

vediamo un esempio 2x + |x-3|

\(>\) 0 Il modulo |x-3| e’ sempre definito positivo, quindi dov’e’ positivo lo prendo com’e’, dov’e’ negativo lo cambio di segno |x-3| = x-3 se x

\(\geq\) 3 |x-3| = -x+3 se x

Nota: quando risolvi il modulo devi mettere una delle parti anche uguale a zero oltre che maggiore o minore, e’ indifferente se mettere l’uguale assieme col maggiore od assieme col minore, l’importante e’ metterlo (io, in questa pagina lo mettero’ assieme col minore)

Quindi divido la retta reale nei due intervalli

da meno infinito a 3 compreso ove la disequazione diventa 2x – x + 3

da 3 a piu’ infinito ove la disequazione diventa 2x + x – 3

\(>\)0
\(>\)0

Cioe’ devo risolvere i due sistemi

\(\leq\) 3 2x – x + 3

\(>\)0 e

\(x 3 2x + x - 3 0\)

Risolvo il primo

\(\leq\) 3 2x – x + 3

\(>\)0

\(\leq\) 3 x

\(>\) -3 facendo lo schema se hai bisogno di aiuto per lo schema

[figura: disequazione31.jpg]

ottengo -3

\(\leq\) 3

Risolvo il secondo

\(x 3 2x + x - 3 0\)

\(x 3 x 1\) facendo lo schema se hai bisogno di aiuto per lo schema

[figura: disequazione32.jpg]

ottengo \(x 3\)

Ora metto assieme le soluzioni dei due sistemi ed ottengo x

\(>\) -3

\(\leq\) 3 x

\(>\) -3 Sulla retta reale considero i due valori 3 e -3

[figura: agcaca1.jpg]

nella prima disequazione del sistema ho x minore uguale a 3 quindi faccio una riga e prendo i valori minori od uguali a tre

[figura: agcaca2.jpg]

nella seconda disequazione del sistema ho x maggiore di -3 quindi faccio un’altra riga e prendo i valori maggiori di meno tre

[figura: agcaca3.jpg]

Essendo un sistema devo prendere i valori che vanno bene sia per la prima che per la seconda disequazione, cioe’ i valori comuni (in blu)

[figura: disequazione31.jpg]

ottengo -3

\(\leq\) 3

\(x 3 x 1\) Sulla retta reale considero i due valori 3 e 1

[figura: agcacb1.jpg]

nella prima disequazione del sistema ho x maggiore di 3 quindi faccio una riga e segno i valori maggiori di tre

[figura: agcacb2.jpg]

nella seconda disequazione del sistema ho x maggiore di 1 quindi faccio un’altra riga e prendo i valori maggiori di uno

[figura: agcacb3.jpg]

Essendo un sistema devo prendere i valori che vanno bene sia per la prima che per la seconda disequazione, cioe’ i valori comuni (in blu)

[figura: disequazione32.jpg]

ottengo \(x 3\)

Devo mettere assieme le soluzioni dei due sistemi -3

\(\leq\) 3 e \(x 3\) la prima parte va da -3 escluso a 3 compreso e la seconda da 3 escluso fino a piu’ infinito quindi le due parti si susseguono con continuita’ ed otteniamo -3

disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Come hai visto per alcune disequazioni di secondo grado potremmo usare la scomposizione in fattori di primo grado, pero’ vi sono delle equazioni che non sono scomponibili Quindi e’ necessario elaborare un metodo generale per determinare sempre il segno delle disequazioni di secondo grado Vi sono due metodi, uno piu’ razionale e l’altro piu’ intuitivo;

Metodo algebrico
Metodo della parabola

L’uno e l’altro conducono comunque agli stessi risultati

Tabella di riepilogo

determinazione del segno di un polinomio di secondo grado

Determinazione del segno di un polinomio di secondo grado Metodo algebrico Risolvere una disequazione di secondo grado significa trovare il segno del polinomio di secondo grado Considero il polinomio di secondo grado \(ax^2 + bx + c\) Per determinarne il segno consideriamo sempre il caso in cui \(a 0\) (se fosse a minore di zero basterebbe moltiplicare tutto per -1 e in tal caso ricorda di cambiare il verso alla disequazione) Distinguiamo i tre casi

Delta del polinomio maggiore di zero
Delta del polinomio uguale a zero
Delta del polinomio minore di zero

determinazione del segno di un polinomio di
secondo grado: delta maggiore di zero

Delta del polinomio maggiore di zero Voglio trovare il segno del polinomio di secondo grado \(ax^2 + bx + c\) Considero l’equazione associata \(ax^2 + bx + c = 0\) Se il discriminante dell’equazione e’ maggiore di zero allora ho due soluzioni \(x_1\) e \(x_2\) reali e distinte e in questo caso posso utilizzare la decomposizione del trinomio \(ax^2 + bx + c = a ( x - x_1)(x - x_2)\) Quindi bastera’ trovare il segno di \(a ( x - x_1)(x - x_2)\) Anzi, siccome a e’ maggiore di zero possiamo limitarci a \(( x - x_1)(x - x_2)\) Dobbiamo trovare il segno di quest’espressione quando ad x assegniamo un valore sulla retta reale

[figura: disequazione20.jpg]

Ho cerchiato i valori perche’ in quei punti l’espressione vale zero Vi sono tre possibilita’, la x si puo’ trovare (partendo da sinistra):

Prima di x\(_1\)
tra x\(_1\) ed x\(_2\)
Dopo x\(_2\)

dobbiamo studiare tutti e tre i casi

la x si trova prima di x\(_1\)

[figura: disequazione21.jpg]

in questo caso il fattore \(( x - x_1)\) e’ negativo (perche’ ho un numero piu’ a sinistra meno un numero piu’ a destra) ma anche il fattore \(( x - x_2)\) e’ negativo (perche’ ho un numero piu’ a sinistra meno un numero piu’ a destra) quindi l’espressione \(( x - x_1)(x - x_2)\) essendo il prodotto di due fattori negativi e’ positiva

[figura: disequazione21a.jpg]

la x si trova tra x\(_1\) ed x\(_2\)

[figura: disequazione22.jpg]

in questo caso il fattore \(( x - x_1)\) e’ positivo (perche’ ho un numero piu’ a destra meno un numero piu’ a sinistra) mentre il fattore \(( x - x_2)\) e’ negativo (perche’ ho un numero piu’ a sinistra meno un numero piu’ a destra) quindi l’espressione \(( x - x_1)(x - x_2)\) essendo il prodotto di un positivo ed un negativo e’ negativa

[figura: disequazione21b.jpg]

La x si trova dopo x\(_2\)

[figura: disequazione23.jpg]

in questo caso il fattore \(( x - x_1)\) e’ positivo (perche’ ho un numero piu’ a destra meno un numero piu’ a sinistra) ma anche il fattore \(( x - x_2)\) e’ positivo (perche’ ho un numero piu’ a destra meno un numero piu’ a sinistra) quindi l’espressione \(( x - x_1)(x - x_2)\) essendo il prodotto di due numeri positivi e’ positiva

[figura: disequazione21c.jpg]

Raccogliendo i risultati avremo:

[figura: disequazione21d.jpg]

Cioe’ se il delta e’ maggiore di zero il trinomio e’ positivo per valori esterni all’intervallo delle radici ed e’ negativo per valori interni

\(\Delta\)

\(>\) a

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

[figura: disequazione24.jpg]

valori esterni all'intervallo delle radici

[figura: disequazione25.jpg]

valori interni all'intervallo delle radici

determinazione del segno di un polinomio di
secondo grado: delta uguale a zero

Delta del polinomio uguale a zero Se il discriminante dell’equazione e’ uguale a zero allora ho due soluzioni \(x_1 = x_2\) reali e coincidenti e in questo caso la decomposizione del trinomio diventera’ \(ax^2 + bx + c = a ( x - x_1)(x - x_1) = a ( x - x_1)^2\) e il segno di un quadrato e’ sempre positivo

Apriamo una parentesi per capirci meglio: e’ come se le due soluzioni del caso precedente si avvicinassero tra loro sino a toccarsi, allora avremo solo valori positivi, mentre i valori negativi spariscono

Quindi avremo:

[figura: disequazione26.jpg]

Se il delta e’ uguale a zero il trinomio e’ positivo per tutti i valori eccetto il valore per cui si annulla Quando il delta vale zero le soluzioni dell’equazione di secondo grado valgono -b/2a

\(\Delta\)=0 a

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

[figura: disequazione27.jpg]

tutti i valori eccetto -b/2a per cui si annulla

[figura: disequazione28.jpg]

nessun valore

determinazione del segno di un polinomio di
secondo grado: delta minore di zero

Delta del polinomio minore di zero Se il discriminante dell’equazione e’ minore di zero allora non ho nessuna soluzione quindi non posso fare riferimento ad \(x_1\) ed \(x_2\) Allora per vedere il segno del trinomio \(ax^2 + bx + c\) devo riferirmi a qualcos’altro: in matematica io so che un quadrato ha sempre il segno positivo, quindi cerco di isolare parte del trinomio facendola diventare un quadrato: come prima cosa metto in evidenza a fra i vari termini \(ax^2 + bx + c =\) Ma se a non c’e’ in tutti i termini come si fa a metterla in evidenza? Per metterla in evidenza basta prima farla comparire moltiplicando i termini senza a per a/a (e’ come moltiplicarli per 1) \(abx ac = ax^2 + ------ + ----- = a a\) ora posso mettere in evidenza la a raccogliendo quella al numeratore \(bx c = a(x^2 + ----- + ----) = a a\) ora il primo termine entro parentesi e’ quadrato, posso considerare il secondo come doppio prodotto. il termine da aggiungere (e togliere) perche’ venga un quadrato e’ \(b^2 ----- 4a^2\) eseguo \(bx b^2 b^2 c = a(x^2 + ----- + ------ - ------ + ----) = a 4a^2 4a^2 a\) Scrivo i primi tre termini come quadrato e negli ultimi due faccio il minimo comune multiplo \(b b^2 - 4ac = a[(x + ---- )^2 - ------------] 2a 4a^2\) e questa e’ un’espressione di cui conosciamo il segno, infatti:

il quadrato e’ positivo
il termine sopra il segno di frazione b\(^2\) – 4ac corrisponde al Delta ed e’ negativo, quindi con il meno davanti diventa positivo
il termine al denominatore 4a\(^2\) e’ positivo perche’ e’ quadrato

tutta l’espressione e’ positiva quindi posso dire: Se il delta e’ minore di zero il trinomio e’ sempre positivo per tutti i valori della x

\(\Delta\)

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

sempre verificato per ogni valore di x mai verificato

Nell’espressione \(bx c = a(x^2 + ----- + ----) = a a\) se il secondo termine dentro parentesi e’ il doppio prodotto allora la x corrisponde al quadrato del primo nel quadrato dovra’ esserci \(4\) al denominatore perche’ il doppio prodotto non ha il numero due b al numeratore ed a al denominatore dovranno essere nel quadrato quindi il termine da aggiungere perche’ diventi un quadrato sara’ \(b^2 ----- 4a^2\) e, naturalmente, dovra’ anche essere tolto per non variare il valore dell’espressione

Determinazione del segno di un polinomio di secondo grado Metodo geometrico Posso considerare l’equazione di secondo grado \(ax^2 + bx + c= 0\) come l’intersezione in un piano cartesiano fra la parabola \(y = ax^2 + bx + c\) e l’asse delle x \(y = 0\) Il trinomio \(ax^2 + bx + c\) sara’ positivo per i valori sull’asse delle x per cui la parabola e’ sopra l’asse, negativo quando la parabola e’ sotto l’asse x Dobbiamo distinguere tre casi

Parabola che interseca in due punti l’asse delle x (Delta maggiore di zero)
Parabola tangente all’asse delle x (Delta uguale a zero)
Parabola che non interseca l’asse delle x (Delta minore di zero)

parabola che interseca in due punti l'asse delle x

Parabola che interseca in due punti l'asse delle x E’ equivalente al caso ove il delta del polinomio e’ maggiore di zero (2 soluzioni reali = 2 punti sull’asse x) Distinguiamo i due casi:

\(>\) 0
\(<\) 0

Quando a e’ minore di zero potremmo cambiare di segno tutti i termini del trinomio (cambiando anche di verso la disequazione), ma il metodo della parabola e’ talmente semplice che di solito si preferisce applicarlo senza cambiare di segno

[figura: parabola1.jpg]

\(>\) 0 Se a e’ maggiore di zero la parabola ha la concavita’ verso l’alto quindi avremo che il trinomio e’ positivo per valori esterni all’intervallo delle intersezioni ed e’ negativo per valori interni

\(\Delta\)

\(>\)0 a

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

[figura: disequazione24.jpg]

valori esterni all'intervallo delle radici

[figura: disequazione25.jpg]

valori interni all'intervallo delle radici

[figura: parabola2.jpg]

\(\Delta\)

\(>\) 0 a

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

[figura: disequazione25.jpg]

valori interni all'intervallo delle radici

[figura: disequazione24.jpg]

valori esterni all'intervallo delle radici

parabola tangente all'asse delle x

Parabola tangente all'asse delle x E’ equivalente al caso ove il delta del polinomio e’ uguale a zero (2 soluzioni reali coincidenti = 2 punti coincidenti, cioe’ un solo punto sull’asse x) Distinguiamo i due casi:

\(>\) 0
\(<\) 0

[figura: parabola3.jpg]

\(>\) 0 Se a e’ maggiore di zero la parabola ha la concavita’ verso l’alto quindi avremo che il trinomio e’ positivo per tutti i valori eccetto il valore del vertice -b/2a per cui si annulla

\(\Delta\)=0 a

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

[figura: disequazione27.jpg]

tutti i valori eccetto -b/2a per cui si annulla

[figura: disequazione28.jpg]

nessun valore

[figura: parabola4.jpg]

\(\Delta\)=0 a

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

[figura: disequazione28.jpg]

nessun valore

[figura: disequazione27.jpg]

tutti i valori eccetto -b/2a per cui si annulla

parabola che non tocca l'asse delle x

Parabola che non tocca l'asse delle x E’ equivalente al caso ove il delta del polinomio e’ minore di zero (nessuna soluzione = nessun punto di intersezione) Distinguiamo i due casi:

\(>\) 0
\(<\) 0

[figura: parabola5.jpg]

\(>\) 0 Se a e’ maggiore di zero la parabola ha la concavita’ verso l’alto Siccome non tocca l’asse x allora tutti i suoi punti saranno sopra, quindi avremo che il trinomio e’ positivo per tutti i valori

\(\Delta\)

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

sempre verificato per ogni valore di x mai verificato

[figura: parabola6.jpg]

\(\Delta\)

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

mai verificato sempre verificato per ogni valore di x

tabella di riepilogo

tabella di riepilogo Puoi vedere la tabella di riepilogo per le disequazioni di secondo grado. distinguiamo i due casi:

\(>\) 0
\(<\) 0

il mio consiglio di solito e’, per non fare confusione, di studiare solamente la tabella con a

\(>\) 0 , e, in caso di a negativo, cambiare di segno tutti i termini e di verso la disequazione. Decidi tu cosa fare seguendo anche le spiegazioni del tuo insegnante

tabella di riepilogo con a maggiore di zero

tabella di riepilogo con a maggiore di zero Per risolvere una disequazione di secondo grado devi considerare l’equazione associata ed applicare la formula risolutiva: devi poi controllare il termine entro radice se e’

positivo (ed allora risolvendo trovi due valori)
nullo (ed allora trovi due valori coincidenti)
negativo(ed allora non puoi risolvere)

Poi segui lo schema

Cliccando sui riquadri delle soluzioni potrai vedere un esempio per ogni tipo

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

\(\Delta\)

\(>\)0

[figura: disequazione24.jpg]

valori esterni all’intervallo delle radici

[figura: disequazione25.jpg]

valori interni all’intervallo delle radici

\(\Delta\)=0

[figura: disequazione27.jpg]

tutti i valori eccetto -b/2a per cui si annulla

[figura: disequazione28.jpg]

nessun valore

\(\Delta\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(x^2 - 7x + 10 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - 7x + 10 = 0\) Risolvo 7

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)[(7)\(^2\) – 4·1·(10)] x\(_{1,2}\) = ————————– 2 7

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)(49 – 40) x\(_{1,2}\) = —————— 2 7

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)9 x\(_{1,2}\) = —————— 2 7

\(\pm\) 3 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 2 x\(_2\) = 5 Ho ordinato le soluzioni: prima quella piu’ a sinistra Ho due soluzioni quindi il delta e’ maggiore di zero: soluzioni esterne all’intervallo delle radici quindi avremo \(x 2 V x 5\) oppure in altra notazione

[figura: disequazione29.jpg]

In pratica significa che se sotituisco alla x un valore minore di 2 o maggiore di 5 tutta l’espressione vale un numero maggiore di zero se invece sostituisco un numero compreso fra 2 e 5 otterro’ un risultato negativo: Proviamolo per esercizio:

sostituisco ad esempio -3 \((-3)^2 - 7(-3) + 10 = 9 + 21 +10 0\)
sostituisco +8 \(8^2 - 7(8) + 10 = 64 - 56 +10 0\)
sostituisco 3 \(3^2 - 7(3) + 10 = 9 - 21 +10 = -2 0\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(x^2 - 6x + 8 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - 6x + 8 = 0\) Risolvo (sarebbe meglio usare la formula ridotta) 6

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)[(6)\(^2\) – 4·1·(8)] x\(_{1,2}\) = ————————– 2 6

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)(36-32) x\(_{1,2}\) = —————— 2 6

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)4 x\(_{1,2}\) = —————— 2 6

\(\pm\) 2 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 2 x\(_2\) = 4 Ho ordinato le soluzioni: prima quella piu’ a sinistra Ho due soluzioni quindi il delta e’ maggiore di zero: il polonomio e’ negativo per i valori interni all’intervallo delle radici;a questi dobbiamo aggiungere i valori per cui si annulla quindi avremo \(2 x 4\) oppure in altra notazione

[figura: disequazione30.jpg]

\(Applichiamo la formula ridotta x_{1,2} = 3 [(3)^2 - 1 \cdot (8)] x_{1,2} = 3 (9-8) x_{1,2} = 3 1 x_1 = 2 x_2 = 4\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(x^2 - 6x + 9 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - 6x + 9 = 0\) Risolvo (sarebbe meglio usare la formula ridotta) \(6 [(6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9)] x_{1,2} = -------------------------- 2 6 (36-36) x_{1,2} = ------------------ = 3 2\) Il delta e’ uguale a zero pertanto il polinomio e’ sempre positivo eccetto per il valore -b/2a = 3 per cui si annulla, ma qui devo anche considerare il valore per cui si annulla perche’ la disequazione e’ maggiore ed uguale a zero: quindi avremo Verificata per ogni valore di x

\(Applichiamo la formula ridotta x_{1,2} = 3 [(3)^2 - 1 \cdot (9)] x_{1,2} = 3 (9-9) = 3 Il delta e' uguale a zero\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(x^2 - 4x + 4 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - 4x + 4 = 0\) Risolvo (sarebbe meglio usare la formula ridotta) \(4 [(4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4)] x_{1,2} = -------------------------- 2 4 (16-16) x_{1,2} = ------------------ = 2 2\) Il delta e’ uguale a zero pertanto il polinomio e’ sempre positivo eccetto per il valore -b/2a = 2 per cui si annulla, ma qui devo cercare i valori minori di zero, quindi Non e' mai verificata (nessun valore di x)

\(Applichiamo la formula ridotta x_{1,2} = 2 [(2)^2 - 1 \cdot (4)] x_{1,2} = 2 (4-4) = 2 Il delta e' uguale a zero\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(x^2 - x + 4 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - x + 4 = 0\) Risolvo \(1 [(1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4)] x_{1,2} = -------------------------- 2 1 (1-16) x_{1,2} = ------------------ 2\) Il delta e’ minore di zero pertanto il polinomio e’ sempre positivo e siccome devo cercare i valori maggiori di zero avro’ Sempre verificata (per tutti i valori di x)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(x^2 -3x + 8 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - 3x + 8 = 0\) Risolvo \(3 [(3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8)] x_{1,2} = -------------------------- 2 1 (9-32) x_{1,2} = ------------------ 2\) Il delta e’ minore di zero pertanto il polinomio e’ sempre positivo e siccome devo cercare i valori minori di zero avro’ Mai verificata (per nessun valore di x)

tabella di riepilogo con a minore di zero

tabella di riepilogo con a minore di zero Cliccando sui riquadri delle soluzioni potrai vedere un esempio per ogni tipo; comunque per la soluzione dell’equazione associata si cambia sempre di segno prima di applicare la formula risolutiva io personalmente preferisco cambiare di segno e verso la disequazione di partenza e rifarmi allo schema precedente

\(>\) 0 \(ax^2 + bx + c\)

\(\Delta\)

\(>\)0

[figura: disequazione25.jpg]

valori interni all’intervallo delle radici

[figura: disequazione24.jpg]

valori esterni all’intervallo delle radici

\(\Delta\)=0

[figura: disequazione28.jpg]

nessun valore

[figura: disequazione27.jpg]

tutti i valori eccetto -b/2a per cui si annulla

\(\Delta\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(-2x^2 + 6x - 4 0\) Considero l’equazione associata \(-2x^2 + 6x - 4 = 0\) Moltiplico l’equazione per -1 (secondo principio) \(2x^2 - 6x + 4 = 0\) Risolvo (sarebbe meglio usare la formula ridotta) 6

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)[(6)\(^2\) – 4·2·(4)] x\(_{1,2}\) = ————————– 4 6

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)(36-32) x\(_{1,2}\) = —————— 4 6

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)4 x\(_{1,2}\) = —————— 4 6

\(\pm\) 2 x\(_{1,2}\) = ————- 4 x\(_1\) = 1 x\(_2\) = 2 Ho ordinato le soluzioni: prima quella piu’ a sinistra Ho due soluzioni quindi il delta e’ maggiore di zero: essendo a minore di zero il polinomio e’ positivo per i valori interni all’intervallo delle radici;a questi dobbiamo aggiungere i valori per cui si annulla quindi avremo \(1 x 2\)

Applichiamo la formula ridotta 3

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)[(3)\(^2\) – 2·(4)] x\(_{1,2}\) = ————————– 2 3

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)(9-8) x\(_{1,2}\) = —————— 2 3

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)1 x\(_{1,2}\) = —————— 2 3

\(\pm\) 1 x\(_{1,2}\) = ————- 2 x\(_1\) = 1 x\(_2\) = 2

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(-2x^2 + 7x - 5 0\) Considero l’equazione associata \(-2x^2 + 7x - 5 = 0\) Cambio di segno (nelle equazioni posso sempre applicare il secondo principio) \(2x^2 - 7x + 5 = 0\) Risolvo 7

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)[(7)\(^2\) – 4·(2)·(5)] x\(_{1,2}\) = ————————– 4 7

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)(49 – 40) x\(_{1,2}\) = —————— 4 7

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)9 x\(_{1,2}\) = —————— 4 7

\(\pm\) 3 x\(_{1,2}\) = ————- 4 x\(_1\) = 1 x\(_2\) = 5/2 Ho ordinato le soluzioni: prima quella piu’ a sinistra Ho due soluzioni quindi il delta e’ maggiore di zero: essendo a minore di zero ed il polinomio negativo avro’ soluzioni esterne all’intervallo delle radici quindi avremo \(x 1 U x 5/2\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(-x^2 + 4x - 4 0\) Considero l’equazione associata \(-x^2 + 4x - 4 = 0\) Cambio di segno l’equazione \(x^2 - 4x + 4 = 0\) Risolvo (sarebbe meglio usare la formula ridotta) \(4 [(4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4)] x_{1,2} = -------------------------- 2 4 (16-16) x_{1,2} = ------------------ = 2 2\) Il delta e’ uguale a zero e per a minore di zero il polinomio e’ sempre negativo eccetto per il valore -b/2a = 2 per cui si annulla, ma qui devo cercare i valori maggiori od uguali a zero, quindi l’unico valore accettabile e’ \(x = 2\)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(-x^2 + 6x - 9 0\) Considero l’equazione associata \(-x^2 + 6x - 9 = 0\) Cambio di segno i termini dell’equazione \(x^2 - 6x + 9 = 0\) Risolvo (sarebbe meglio usare la formula ridotta) \(6 [(6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9)] x_{1,2} = -------------------------- 2 6 (36-36) x_{1,2} = ------------------ = 3 2\) Il delta e’ uguale a zero ed essendo a minore di zero il polinomio e’ sempre negativo eccetto per il valore -b/2a = 3 per cui si annulla, ma qui devo anche considerare il valore per cui si annulla, quindi avremo Verificata per ogni valore di x 3

Esercizio \(Calcolare i valori di x per cui si ha: -x^2 -3x -4 0 Considero l'equazione associata -x^2 - 3x - 4 = 0 Cambio di segno i termini dell'equazione font color="ff0000" size=5> x^2 + 3x + 4 = 0\) Risolvo \(-3 [(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4)] x_{1,2} = -------------------------- 2 -3 (9-16) x_{1,2} = ------------------ 2\) Il delta e’ minore di zero, essendo a negativa il polinomio e’ sempre negativo e siccome devo cercare i valori maggiori di zero avro’ Mai verificata (per nessun valore di x)

Esercizio Calcolare i valori di x per cui si ha: \(-x^2 - x - 5 0\) Considero l’equazione associata \(-x^2 - x - 5 = 0\) Cambio di segno l’equazione \(x^2 + x + 5 = 0\) Risolvo \(-1 [(1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5)] x_{1,2} = -------------------------- 2 -1 (1-20) x_{1,2} = ------------------ 2\) Il delta e’ minore di zero ed essendo a minore di zero il polinomio e’ sempre negativo e siccome il polinomio di poartenza era minore di zero avro’ Sempre verificata (per tutti i valori di x)

sistemi con disequazioni di secondo grado

Per fare questo argomento devi gia’ conoscere i sistemi di equazioni di primo e secondo grado

Fai attenzione a non confondere il sistema di disequazioni di secondo grado con la soluzione di un prodotto o quoziente di equazioni di secondo grado:

Nel primo caso devi trovare le soluzioni valide contemporaneamente per tutte le disequazioni presenti
Nel secondo devi risolvere tutti i sistemi possibili perche’ l’espressione totale risulti positiva o negativa

vediamo alcuni casi possibili sia nel primo che nel secondo caso

Sistema di disequazioni di secondo grado
Sistema con disequazioni di primo e di secondo grado
Applicazioni a prodotti con espressioni
Applicazioni a frazioni con espressioni
Applicazioni ad espressioni piu’ complesse
Sistemi di equazioni e disequazioni
Esercizi

sistema di disequazioni di secondo grado

Sistema di disequazioni di secondo grado Se hai un sistema di disequazioni devi semplicemente risolvere ogni disequazione e porre i risultati su un grafico: le soluzioni del sistema sono i valori validi contemporaneamente per tutte le disequazioni. Vediamo come procedere su un semplice esempio

Risolvere il sistema

\(x^2 – 5x + 6 > 0 x^2 – 16 < 0\) la prima \(x^2 - 5x + 6 > 0\) e’ verificata per x < 2 U x > 3Calcoli la seconda \(x^2 – 16 < 0\) e' verificata per -4 < x < 4Calcoli quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

x < 2 U x > 3 -4 < x < 4

[figura: disequazione67.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni Devo prendere i valori che risolvono contemporaneamente entrambe le disequazioni ed ottengo come risultato -4 < x < 2 U 3 < x < 4

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 - 5x + 6 > 0\) considero l’ equazione associata: \(x^2 - 5x + 6 = 0\) prendiamo la formula risolutiva

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)

\(x_{1,2} =\)

abbiamo: a = 1 b = -5 c = 6 sostituiamo nella formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– (-5)

\(\pm\) \((-5)^2 - 4(1)(6)\)

\(x_{1,2} =\) =

2(1)

facciamo i calcoli dentro radice

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 25 – 24

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 1

\(\pm\) 1 = ———– = 2

adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 5 – 1 = ——— = 2 2

5 + 1 = ——— = 2 3

Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 2\) \(x_2 = 3\)

Essendo \(x^2 - 5x + 6 > 0\) dovro’ prendere i valori esterni all’intervallo delle radici, quindi x < 2 U x > 3

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 – 16 < 0\) considero l' equazione associata: \(x^2 - 16 = 0\) E' un'equazione pura \(x^2 = 16\) x =

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)16 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -4\) \(x_2 = 4\)

Essendo \(x^2 -16 < 0\) dovro' prendere i valori interni all'intervallo delle radici, quindi -4 < x < 4

sistema con disequazioni di primo e secondo grado

Sistema con disequazioni di primo e secondo grado E’ abbastanza elementare: devi riportare su un grafico le soluzioni delle varie disequazioni di primo esecondo grado e considerare i valori validi contemporaneamente per tutte le disequazioni. Vediamo anche qui un semplice esempio

Risolvere il sistema

\(x + 3 > 0 x – 4 < 0 x^2 - 2x - 3 > 0 x^2 – 4 < 0\)

la prima x + 3 > 0 e’ verificata per x > -3
la seconda x – 4 < 0 e’ verificata per x < 4
la terza \(x^2 - 2x - 3 > 0\) e’ verificata per x < – 1 U x > 3Calcoli
la quarta \(x^2 – 4 < 0\) e' verificata per -2 < x < 2Calcoli

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

x > -3 x < 4 x < -1 U x > 3 -2 < x < 2

[figura: disequazione68.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni Devo prendere i valori che risolvono contemporaneamente tutte e quattro le disequazioni ed ottengo come risultato -2 < x < -1

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 - 2x - 3 > 0\) considero l’ equazione associata: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) prendiamo la formula risolutiva

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)

\(x_{1,2} =\)

abbiamo: a = 1 b = -2 c = -3 sostituiamo nella formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– (-2)

\(\pm\) \((-2)^2 - 4(1)(-3)\)

\(x_{1,2} =\) =

2(1)

facciamo i calcoli dentro radice

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 4 + 12

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 16

\(\pm\) 4 = ———– = 2

adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 2 – 4 = ——— = 2 -1

2 + 4 = ——— = 2 3

Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -1\) \(x_2 = 3\)

Essendo \(x^2 - 2x + 3 > 0\) dovro’ prendere i valori esterni all’intervallo delle radici, quindi x < -1 U x > 3

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 – 4 < 0\) considero l' equazione associata: \(x^2 - 4 = 0\) E' un'equazione pura \(x^2 = 4\) x =

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)4 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -2\) \(x_2 = 2\)

Essendo \(x^2 -4 < 0\) dovro' prendere i valori interni all'intervallo delle radici, quindi -2 < x < 2

applicazioni a disequazioni prodotto di espressioni di primo e secondo grado

Applicazioni a disequazioni prodotto di espressioni di primo e secondo grado Quando invece di un sistema hai un prodotto devi pensare che ogni prodotto e’ equivalente a piu’ sistemi

\(Ad esempio se hai (x-2)(x^2 - 6x + 5) > 0 siccome devi trovare dove il prodotto e' maggiore di zero potrai considerare le soluzioni che vanno bene per i due sistemi\)

x-2 > 0

x-2 < 0

\(x^2 - 6x + 5 > 0\) \(x^2- 6x + 5 < 0\)

Infatti se i due fattori dell’espressione sono entrambe positivi oppure entrambe negativi allora l’espressione prodotto e’ positiva Se invece hai: \((x-2)(x^2 – 6x + 5) < 0\) siccome devi trovare dove il prodotto e' minore di zero potrai considerare le soluzioni che vanno bene per i due sistemi

x-2 > 0

x-2 < 0

\(x^2 – 6x + 5 < 0\) \(x^2 - 6x + 5 > 0\)

Infatti se i due fattori dell’espressione hanno segno contrario allora il loro prodotto e’ negativo se hai bisogno di vedere un altro esempio

Senza dover risolvere piu’ sistemi, pero’, e’ piu’ semplice porre tutte le espressioni componenti maggiori di zero (sia che l’espressione sia maggiore che minore di zero) e poi controllare dove il prodotto di queste espressioni risulta positivo oppure negativo. (Cio’ equivale a risolvere contemporaneamente tutti i sistemi)

Vediamo come esempio la soluzione delle due disequazioni considerate sopra

1) Prima disequazione \((x-2)(x^2 - 6x + 5) > 0\) Pongo entrambe i fattori maggiori di zero

\(x - 2 > 0 x^2 - 6x + 5 > 0\)

la prima x – 2 > 0 e’ verificata per x > 2
la seconda \(x^2 - 6x + 5 > 0\) e’ verificata per x < 1 U x > 5Calcoli

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

x > 2 x < 1 U x > 5

[figura: disequazione69.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove il fattore e’ positivo e con un meno dove e’ negativo. Nella riga in blu metto il segno dell’espressione prodotto Ora faccio i calcolo dei segni: siccome devo prendere dove l’espressione e’ positiva l’espressione prodotto sara’ positiva dove entrambe i fattori sono positivi oppure dove sono entrambe negativi

Per distinguere questo caso dalla soluzione di un sistema io preferisco indicare i valori positivi con un piu’ e quelli negativi con un meno, mentre nel sistema ho indicato con una riga continua le soluzioni accettabili e con una linea tratteggiata quelle non accettabili Pero’ stai attento a non confonderti perche’ qualche libro di testo indica nello stesso modo (riga continua e tratteggiata) sia la soluzione di un sistema che la soluzione di una disequazione prodotto di espressioni

La soluzione e’ 1 < x < 2 U x > 5

2) Seconda disequazione se dobbiamo fare \((x-2)(x^2 – 6x + 5) < 0\) ci comportiamo esattamente allo stesso modo fino alla considerazione del risultato finale: Pongo entrambe i fattori maggiori di zero (tanto il segno dell'espressione lo studio alla fine)

\(x - 2 > 0 x^2 - 6x + 5 > 0\)

la prima x – 2 > 0 e’ verificata per x > 2
la seconda \(x^2 - 6x + 5 > 0\) e’ verificata per x < 1 U x > 5Calcoli

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

x > 2 x < 1 U x > 5

[figura: disequazione69.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove il fattore e’ positivo e con un meno dove e’ negativo. Nella riga in blu metto il segno dell’espressione prodotto Considerazione del risultato finale Ora faccio i calcolo dei segni: stavolta devo prendere dove l’espressione e’ negativa L’espressione sara’ negativa dove il prodotto dei segni dei fattori mi da’ un risultato negativo, cioe’ dove i due fattori hanno segni contrari La soluzione e’ x < 1 U 2 < x < 5

disequazione prodotto di tre disequazioni di primo e secondo grado

Disequazione prodotto di tre disequazioni di primo e secondo grado \(Prendiamo ad esempio (x-3)(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 4) > 0 Devi trovare dove il prodotto e' maggiore di zero ed hai tre termini Il prodotto sara' positivo se i termini sono\)x-3 \(x^2 - 5x + 2\) \(x^2 - 4\)

positivo positivo positivo 1° sistema

negativo negativo positivo 2° sistema

negativo positivo negativo 3° sistema

positivo negativo negativo 4° sistema

ottengo quindi i quattro sistemi

x-3 > 0

\(x^2 - 5x + 4 > 0\)

\(x^2 - 4 > 0\)

x-3 < 0

\(x^2 – 5x + 4 < 0\)

\(x^2 - 4 > 0\)

x-3 < 0

\(x^2 - 5x + 4 > 0\)

\(x^2 – 4 < 0\)

x-3 > 0

\(x^2 – 5x + 4 < 0\)

\(x^2 – 4 < 0\)

Se invece abbiamo: \((x-3)(x^2 – 5x + 2)(x^2 – 4) < 0\) Devi trovare dove il prodotto e' minore di zero ed hai tre termini Il prodotto sara' negativo se i termini sono quindi ottengo i quattro sistemi

x-3 < 0

\(x^2 – 5x + 4 < 0\)

\(x^2 – 4 < 0\)

x-3 < 0

\(x^2 - 5x + 4 > 0\)

\(x^2 - 4 > 0\)

x-3 > 0

\(x^2 – 5x + 4 < 0\)

\(x^2 - 4 > 0\)

x-3 > 0

\(x^2 - 5x + 4 > 0\)

\(x^2 – 4 < 0\)

Se poi la disequazione fosse un prodotto di 4 espressioni otterresti qualcosa come 8 sistemi sia per l’espressione positiva che per l’espressione negativa, quindi capisci che conviene porre tutti i fattori maggiori di zero e poi calcolare il segno dell’espressione

Esercizio: siccome 2 fattori = 2+2 sistemi = 4 3 fattori = 4+4 sistemi = 8 4 fattori = 8+8 sistemi = 16 ………………….. riesci a trovare la regola che ti permette di sapere quanti sistemi dovresti fare per 5 fattori? si tratta di disposizioni con ripetizione di due oggetti presi 5 a 5 cioe’ \(2^5 = 32 sistemi, 16 per il positivo e 16 per il negativo In generale per un prodotto di n fattori avrai 2^n sistemi, meta' per l'espressione positiva e meta' per l'espressione negativa\)

abbiamo la disequazione: \(x^2 - 6x + 5 > 0\) risolviamo l’ equazione associata: \(x^2 - 6x + 5 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\beta\)

\(\pm\) \(^2 - ac\)

\(x_{1,2} =\)

abbiamo: a = 1 b = -6

\(\beta\) = -3 c = 5 sostituiamo nella formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

–(-3)

\(\pm\) \((-3)^2 - (1)(5)\)

\(x_{1,2} =\) =

facciamo i calcoli dentro radice

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 9 – 5 =

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 4 =

\(\pm\) 2

adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 3 – 2 = 1

3 + 2 = 5

Ho quindi le due soluzioni \(x_1 =\) \(1\) \(x_2 =\) \(5\)

Siccome le due radici sono reali e distinte (e quindi Delta maggiore di zero) allora la mia disequazione sara’ valida per valori esterni all’intervallo delle radici, cioe’ x < 1 U x > 5

applicazioni a disequazioni quoziente di espressioni di primo e secondo grado

Applicazioni a disequazioni quoziente di espressioni di primo e secondo grado Siccome il quoziente si comporta, per i segni, come il prodotto quando hai un quoziente devi pensare che ogni quoziente e’ equivalente a piu’ sistemi di disequazioni

Ad esempio se hai \(x - 3 --------------------- x^2 - 6x + 5\) > 0

siccome devi trovare dove il quoziente e’ maggiore di zero potrai considerare le soluzioni che vanno bene per i due sistemi

x-3 > 0

x-3 < 0

\(x^2 - 6x + 5 > 0\) \(x^2- 6x + 5 < 0\)

Infatti se numeratore e denominatore dell’espressione sono entrambe positivi oppure entrambe negativi allora l’espressione prodotto e’ positiva Se invece hai: \(x - 3 --------------------- x^2 - 6x + 5\) < 0

siccome devi trovare dove il quoziente e’ minore di zero potrai considerare le soluzioni che vanno bene per i due sistemi

x – 3 > 0

x – 3 < 0

\(x^2 – 6x + 5 < 0\) \(x^2 - 6x + 5 > 0\)

Infatti se numeratore e denominatore dell’espressione hanno segno contrario allora l’espressione e’ negativa la regola dei segni del quoziente e’ identica a quella per il prodotto

Anche qui, senza dover risolvere piu’ sistemi, pero’, e’ piu’ semplice porre sia il numeratore che il denominatore maggiori di zero (sia che l’espressione sia maggiore che minore di zero) e poi controllare dove il prodotto dei segni di queste espressioni risulta positivo oppure negativo. (Cio’ equivale a risolvere contemporaneamente tutti i sistemi)

Vediamo come esempio la soluzione di una disequazione

Risolvere \((x-3)(x^2 – 6x + 5) < 0\) Anche se devo trovare i valori minori di zero pongo entrambe i fattori maggiori di zero

\(x - 3 > 0 x^2 - 6x + 5 > 0\)

la prima x – 3 > 0 e’ verificata per x > 3
la seconda \(x^2 - 6x + 5 > 0\) e’ verificata per x < 1 U x > 5Calcoli

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

x > 3 x < 1 U x > 5

[figura: disequazione70.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove il fattore e’ positivo e con un meno dove e’ negativo. Nella riga in blu metto il segno dell’espressione prodotto Ora faccio i calcolo dei segni: siccome devo prendere dove l’espressione e’ negativa l’espressione prodotto sara’ negativa dove numeratore e denominatore hanno segni diversi

La soluzione e’ x < 1 U 3 < x < 5

Importante!

Un caso da prendere bene in considerazione e’ quando abbiamo la frazione

\(\geq\) 0 oppure

\(\leq\) 0 vediamolo su alcuni esercizi \(x^2 - 9 --------------------- x - 2\)

\(\geq\) 0 svolgimento

\(x^2 -3x + 2 --------------------- x - 5\)

\(\leq\) 0 svolgimento

Importante e’ anche il seguente caso particolare: quando il numeratore ed il denominatore sono fra loro semplificabili \(x^2 -5x + 6 --------------------- x - 3\) > 0 svolgimento

disequazione fratta maggiore od uguale a zero

Disequazione fratta maggiore od uguale a zero risolviamo la disequazione: \(x^2 - 9 ---------- x - 2\)

Quando abbiamo una frazione dobbiamo sempore tener presente il fatto che il denominatore deve sempre essere diverso da zero, quindi per risolvere la mia disequazione pongo sempre

il numeratore

\(\geq\) 0
il demoninatore solamente > 0
faccio lo schema dei segni e prendo i valori concordi, cioe’ dove la frazione risulta maggiore od uguale a zero

Pongo numeratore maggiore od uguale a zero e denominatore solamente maggiore di zero

\(x^2 - 9 0 x - 2 > 0\)

la prima \(x^2 - 9 0\) e’ verificata per x

\(\leq\) -3 U x

\(\geq\) 3Calcoli
la seconda x – 2 > 0 e’ verificata per x > 2

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

\(\leq\) -3 U x

\(\geq\) 3 x > 2

[figura: disequazione71.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove il fattore e’ positivo e con un meno dove e’ negativo. Dove il valore che annulla e’ accettabile lo segno con un cerchietto Nella riga in blu metto il segno dell’espressione quoziente Ora faccio il calcolo dei segni: siccome devo prendere dove l’espressione e’ positiva o nulla l’espressione quoziente sara’ positiva dove

il numeratore e’positivo o nullo ed il denominatore e’ positivo (A destra di 3)
il numeratore e’ negativo o nullo ed il denominatore e’ negativo (tra -3 e 2)

La soluzione e’ -3

\(\leq\) x < 2 U x

\(\geq\) 3

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 - 9 0\) considero l’ equazione associata: \(x^2 - 9 = 0\) E’ un’equazione pura \(x^2 = 9\) x =

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)9 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -3\) \(x_2 = 3\)

Essendo \(x^2 -9 0\) dovro’ prendere i valori esterni all’intervallo delle radici, quindi \(x -3 U x 3\)

disequazione fratta minore od uguale a zero

Disequazione fratta minore od uguale a zero risolviamo la disequazione: \(x^2 -3x + 2 ----------------- x - 5\)

Quando abbiamo una frazione dobbiamo sempre tener presente il fatto che il denominatore deve sempre essere diverso da zero, quindi per risolvere la mia disequazione pongo sempre

il numeratore

\(\geq\) 0
il demoninatore solamente > 0
faccio lo schema dei segni e prendo i valori concordi, cioe’ dove la frazione risulta maggiore od uguale a zero

Pongo numeratore maggiore od uguale a zero e denominatore solamente maggiore di zero

\(x^2 -3x + 2 0 x - 5 > 0\)

la prima \(x^2 -3x + 2 0\) e’ verificata per x

\(\leq\) 1 U x

\(\geq\) 2Calcoli
la seconda x – 5 > 0 e’ verificata per x > 5

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

\(\leq\) 1 U x

\(\geq\) 2 x > 5

[figura: disequazione72.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove il fattore e’ positivo e con un meno dove e’ negativo. Dove il valore che annulla e’ accettabile lo segno con un cerchietto Nella riga in blu metto il segno dell’espressione quoziente Ora faccio i calcolo dei segni: siccome devo prendere dove l’espressione e’ negativa o nulla l’espressione quoziente sara’ negativa dove

il numeratore e’positivo o nullo ed il denominatore e’ negativo (meno di 1 e tra 2 e 5)
il numeratore e’ negativo o nullo ed il denominatore e’ positivo (da nessuna parte)

La soluzione e’ x

\(\leq\)1 U 2

\(\leq\) x < 5

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 - 3x + 2 0\) considero l’ equazione associata: \(x^2 - 3x + 2 = 0\) prendiamo la formula risolutiva

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)

\(x_{1,2} =\)

abbiamo: a = 1 b = -3 c = 2 sostituiamo nella formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– (-3)

\(\pm\) \((-3)^2 - 4(1)(2)\)

\(x_{1,2} =\) =

2(1)

facciamo i calcoli dentro radice

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 9 – 8

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 1

\(\pm\) 1 = ———– = 2

adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 3 – 1 = ——— = 2 1

3 + 1 = ——— = 2 2

Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 1\) \(x_2 = 2\)

Essendo \(x^2 - 3x + 2 0\) dovro’ prendere i valori esterni all’intervallo delle radici piu’ i valori agli estremi dell’intervallo stesso, quindi \(x 1 U x 2\)

disequazione con numeratore e denominatore semplificabili

Disequazione con numeratore e denominatore semplificabili risolviamo la disequazione: \(x^2 -5x + 6 ----------------- x - 3\) > 0

Provo a risolverla nel modo normale Pongo numeratore maggiore e denominatore maggiori di zero

\(x^2 -5x + 6 > 0 x - 3 > 0\)

la prima \(x^2 - 5x + 6 > 0\) e’ verificata per x < 2 U x > 3Calcoli
la seconda x – 3 > 0 e’ verificata per x > 3

Nota che sia al numeratore che al denominatore abbiamo trovato lo stesso valore x = 3 quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

\(\leq\) 2 U x

\(\geq\) 3 x > 3

[figura: disequazione73.jpg]

Se riporto su un grafico vedo che numeratore e denominatore cambiano di segno (cioe’si annullano) nello stesso valore x = 3; questo significa che se scompongo numeratore e denominatore posso semplificare \((x-2)(x-3) ----------------- x - 3\) > 0

e quindi la mia disequazione diventa x-2 > 0 ed ha quindi soluzione x > 2 Quindi Quando risolvi una disequazione fratta se vedi che un valore che trovi al numeratore e’ uguale ad un valore che trovi al denominatore allora devi scomporre e semplificare fra loro numeratore e denominatore e quindi procedere con la disequazione semplificata

Osserva che se risolvi senza semplificare fai un errore perche’ trovi come soluzione x > 2 con x 3 perche’ devi scartare il valore x=3 che annulla il denominatore

Il problema sara’ ripreso in analisi e vedremo che questo caso fornira’ un esempio di funzione con discontinuita’ eliminabile di tipo a)

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 - 5x + 6 > 0\) considero l’ equazione associata: \(x^2 - 3x + 2 = 0\) prendiamo la formula risolutiva

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)

\(x_{1,2} =\)

abbiamo: a = 1 b = -5 c = 6 sostituiamo nella formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– (-5)

\(\pm\) \((-5)^2 - 4(1)(6)\)

\(x_{1,2} =\) =

2(1)

facciamo i calcoli dentro radice

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 25 – 24

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 1

\(\pm\) 1 = ———– = 2

adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 5 – 1 = ——— = 2 2

5 + 1 = ——— = 2 3

Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 2\) \(x_2 = 3\)

Essendo \(x^2 - 5x + 6 > 0\) dovro’ prendere i valori esterni all’intervallo delle radici, quindi x < 2 U x > 3

applicazioni a disequazioni piu' complesse

Applicazioni a disequazioni piu' complesse Quando abbiamo espressioni piu’ complesse possiamo applicare i metodi visti ora: si trattera’ di considerare sistemi con piu’ disequazioni. Consideriamo per ora il caso di disequazioni composte da prodotti e frazioni di espressioni di primo e di secondo grado, piu’ avanti considereremo equazioni di grado superiore Procederemo nel seguente modo

porremo ogni fattore presente al numeratore o al denominatore maggiore di zero
risolveremo il sistema e porremo i risultati in un grafico
Nell’ultima riga del grafico andremo a calcolare (con la regola del prodotto dei segni) il segno dell’espressione
Prenderemo come risultato i valori richiesti dall’espresione di partenza

Vediamo il metodo su alcuni esercizi

1) \((x^2 - 4x + 3)(x^2 +x+1)(x+4) -------------------------------------------- (x - 2)(x^2 + 9)\) < 0 svolgimento

2) \((x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x + 1) -------------------------------------------- (x - 3)(x^2 - 5x)\)

\(\geq\) 0 svolgimento

3) \((x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4x + 4)(x^2 + 1) -------------------------------------------- (x - 2)(x^2 - 5x + 6)\)

\(\geq\) 0 svolgimento

esercizio su disequazione piu' complessa

Esercizio su disequazione piu' complessa risolviamo la disequazione: \((x^2 - 4x + 3)(x^2 +x+1)(x+4) -------------------------------------------- (x - 2)(x^2 + 9)\) < 0

Pongo ogni fattore al numeratore e al denominatore maggiore di zero

\(x^2 - 4x + 3 > 0 x^2 + x + 1 > 0 x + 4 > 0 x - 2 > 0 x^2 + 9 > 0\)

la prima \(x^2 - 4x + 3 > 0\) e’ verificata per x < 1 U x > 3Calcoli
la seconda \(x^2 + x + 1 > 0\) e’ sempre verificata Calcoli
la terza x + 4 > 0 e’ verificata per x > -4
la quarta x – 2 > 0 e’ verificata per x > 2
la quinta \(x^2 + 9 > 0\) e’ sempre verificata Calcoli

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

x < 1 U x > 3 sempre positiva x > -4 x > 2 sempre positiva

[figura: disequazione74.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove il fattore e’ positivo e con un meno dove e’ negativo. Nella riga in blu metto il segno dell’espressione quoziente Ora faccio il calcolo dei segni: siccome devo prendere dove l’espressione e’ negativa l’espressione quoziente sara’ negativa dove il prodotto dei segni di tutti i fattori da’ risultato negativo

La soluzione e’ -4 < x < 1 U 2 < x < 3

Nota che avrei ottenuto lo stesso risultato trascurando le righe delle disequazioni sempre positive: infatti un fattore sempre positivo non mi cambia il valore finale del segno

abbiamo la disequazione: \(x^2 - 4x + 3 > 0\) risolviamo l’ equazione associata: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\beta\)

\(\pm\) \(^2 - ac\)

\(x_{1,2} =\)

abbiamo: a = 1 b = -4

\(\beta\) = -2 c = 3 sostituiamo nella formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

–(-2)

\(\pm\) \((-2)^2 - (1)(3)\)

\(x_{1,2} =\) =

facciamo i calcoli dentro radice

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 4 – 3 =

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 1 =

\(\pm\) 1

adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 2 – 1 = 1

2 + 1 = 3

Ho quindi le due soluzioni \(x_1 =\) \(1\) \(x_2 =\) \(3\)

Siccome le due radici sono reali e distinte (e quindi

\(\Delta\) maggiore di zero) allora la mia disequazione sara’ valida per valori esterni all’intervallo delle radici, cioe’ x < 1 U x > 3

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 + x + 1 > 0\) considero l’ equazione associata: \(x^2 + x + 1 = 0\) prendiamo la formula risolutiva

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)

\(x_{1,2} =\)

abbiamo: a = 1 b = 1 c = 1 sostituiamo nella formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– (1)

\(\pm\) \((1)^2 - 4(1)(1)\)

\(x_{1,2} =\) =

2(1)

facciamo i calcoli dentro radice

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\pm\) 1 – 4

Essendo il termine sotto radice (

\(\Delta\) ) minore di zero avro’ che la disequazione \(x^2 + x + 1 > 0 e' sempre positiva\)

Esercizi Ho la disequazione \(x^2 + 9 > 0\) considero l’ equazione associata: \(x^2 + 9 = 0\) e’ un’equazione pura \(x^2 = -9\) x =

\(\pm\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)-9 Essendo il termine sotto radice (

\(\Delta\) ) minore di zero avro’ che la disequazione \(x^2 + 9 > 0 e' sempre positiva\)

\(Potevi arrivare allo stesso risultato considerando che x^2 + 9 e' sempre maggiore di zero perche' somma di quadrati\)

esercizio su disequazione piu' complessa con maggiore o uguale

Esercizio su disequazione piu' complessa con maggiore o uguale risolviamo la disequazione: \((x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x + 1) -------------------------------------------- (x - 3)(x^2 - 5x)\)

Pongo ogni fattore al numeratore maggiore o uguale a zero ed ogni fattore al denominatore maggiore di zero (perche’ una frazione non puo’ avere il denominatore uguale a zero)

\(x^2 - 3x + 2 0 x^2 + 2x + 1 0 x - 3 > 0 x^2 - 5x > 0\)

la prima \(x^2 - 3x + 2 ; 0\) e’ verificata per x

\(\leq\) 1 U x

\(\geq\) 2Calcoli
la seconda \(x^2 + 2x + 1 0\) e’ sempre verificata Calcoli
la terza x – 3 > 0 e’ verificata per x > 3
la quarta \(x^2 - 5x > 0\) e’ verificata per x < 0 U x > 5Calcoli

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

\(\leq\) 1 U x

\(\geq\) 2 sempre positiva eccetto x = – 1 per cui si annulla x > 3 x < 0 U x > 5

[figura: disequazione75.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove il fattore e’ positivo e con un meno dove e’ negativo Dove il valore che annulla e’ accettabile lo indico con un cerchietto Nella riga in blu metto il segno dell’espressione quoziente Ora faccio il calcolo dei segni: siccome devo prendere dove l’espressione e’ positiva o nulla l’espressione sara’ positiva dove il prodotto dei segni di tutti i fattori da’ risultato positivoe sara’ nulla dove si annullano i fattori del numeratore (i cerchietti)

La soluzione e’ x = -1 U 0 < x

\(\leq\) 1 U 2

\(\leq\) x < 3 U x > 5

abbiamo la disequazione: \(x^2 + 2x + 1 0\) Se osservi bene i tre termini del polinomio associato sono i tre termini di un quadrato \((x + 1)^2 0\) Quindi la disequazione e’ sempre vera perche’ un quadrato e’ sempre maggiore od uguale a zero

abbiamo la disequazione: \(x^2 - 5x > 0\) Considero l’equazione associata \(x^2 - 5x = 0\) raccolgo la x x(x – 5) = 0 Ottengo le soluzioni \(x_1 =\) \(x_2 =\) \(5\)

Siccome le due radici sono reali e distinte (e quindi

\(\Delta\) maggiore di zero) allora la mia disequazione sara’ valida per valori esterni all’intervallo delle radici, cioe’ x < 0 U x > 5

esercizio su disequazione piu' complessa con numeratore e denominatore semplificabili

Esercizio su disequazione piu' complessa con numeratore e denominatore semplificabili risolviamo la disequazione: \((x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4x + 4)(x^2 + 1) ----------------------------------------------- (x - 2)(x^2 - 5x + 6)\)

Se vado a risolverla senza riflettere, al momento di fare il grafico vedo che un valori che annullano il numeratore mi corrispondono a valori che annullano il denominatore: questo significa che puoi (anzi devi) semplificare numeratore e denominatore prima di poter risolvere, quindi devi tornare all’inizio e semplificare. Per semplificare scomponiamo i fattori cercando di ridurli tutti a fattori di primo grado (quelli che non si riducono non ci debbono preoccupare, possiamo lasciarli come sono, tanto non saranno semplificabili) \(x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x - 3) x^2 - 4x + 4 = ( x - 2)^2 x^2 + 1 = non si scompone x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\) Quindi la mia disequazione iniziale diventa \((x - 1)(x - 3)(x - 2)^2(x^2 + 1) ----------------------------------------------- (x - 2)(x - 2)(x - 3)\)

\(\geq\) 0

e posso semplificare numeratore e denominatore ed ottengo \((x - 1) (x^2 + 1) ----------------------------- 1\)

\(\geq\) 0

o meglio \((x - 1) (x^2 + 1) 0\) E’ un prodotto, pongo ogni fattore maggiore od uguale a zero

\(x - 1 0 x^2 + 1 0\)

la prima x – 1

\(\geq\) ; 0 e’ verificata per x

\(\geq\) 1
la seconda \(x^2 + 1 0\) e’ sempre verificata Calcoli

quindi il mio sistema e’ equivalente al sistema

\(\geq\) 1 sempre verificata

[figura: disequazione76.jpg]

Riporto su un grafico, evidenziando con un piu’ dove la singola disequazione e’ verificata e con un meno dove non e’ verificata Dove il valore che annulla e’ accettabile lo indico con un cerchietto Nella riga in blu metto il segno dell’espressione Ora faccio il calcolo dei segni: siccome devo prendere dove l’espressione e’ positiva o nulla l’espressione sara’ positiva dove il prodotto dei segni dei fattori da’ risultato positivo e sara’ nulla dove si annullano i fattori (i cerchietti)

La soluzione e’ \(x 1\)

Sistemi di equazione e disequazioni

Sistemi di equazione e disequazioni Non e’ che siano molto comuni: comunque quando si incontrano possono lasciare un po’ perplessi: In pratica risolveremo l’ equazione e considereremo solo quelle soluzioni che cadono all’interno degli intervalli comuni alle disequazioni Un esempio sara’ piu’ che sufficiente

\(x^2 - 6x + 5 = 0 x^2 - 16 > 0\) Risolvo l’equazione \(x^2 - 6x + 5 = 0\) Ottengo \(x_1 = 1 x_2 = 5\) Risolvo la disequazione \(x^2 - 16 > 0\) considero l’equazione associata \(x^2 - 16 = 0\) Ottengo le soluzioni \(x_1 = -4 x_2 = 4\) E la disequazione e’ verificata per valori esterni all’intervallo delle radici e quindi ottengo x < -4 U x >4

[figura: disequazione77.jpg]

Se ora considero le due soluzioni dell’equazione l’unica che cade nell’intervallo accettabile e’ x = 5

In questa sezione

Disequazioni di grado superiore: metodi ed esercizi

Claudia D'Agostino

25 Giugno 2014 at 19:08

Salve mi sapreste dire che soluzioni ha questa disequazione?
x2+x-12<0
grazie

il tuo brodaz
5 Gennaio 2017 at 12:06

x < -4 V x < 3
Alberto
22 Novembre 2017 at 11:18

Impossibile perché con il calcolo del del Delta andrai a fare X1,2=-b +- radice di delta ÷2a andando così a calcolare il delta ti troverai davanti a 1 – 48 tutto sotto radice venendoti cosi -47 sotto radice…ovviamente la radice di un numero negativo sarà sempre impossibile e Quindi la soluzione sarà IMPOSSIBILE!

49maniac

14 Marzo 2014 at 15:42

Ciao non funzionano i link batt 1,2,3 potresti rimetterli perfavore?

Lenietta Ginè

17 Settembre 2013 at 22:05

Ciao scusa, come si risolve questa :

2(1+1\x)^4 + (1+1\x)^2 – 3 > 0

juli thaci

5 Giugno 2013 at 16:44

salve..come si risolve questo disequazione ln(2x-5)-ln(6-x)>=0 grazie mille

Albert
29 Giugno 2013 at 17:26

Sistema:
2x-5>0
6-x>0
ln(2x-5)>=ln(6-x) -> 2x-5>=6-x

Ottieni:

S = [11/3;6)

Stefano Cristiano

5 Marzo 2013 at 18:47

Ciao, mi dai una mano con questa disequazione biquadratica? x^4-10x^2+8 > 0
ho posto x^2 = t ed ho ottenuto queste soluzioni : -3 -1 +1 +3..ma non riesco a capire come metterle sul grafico e fare lo studio del segno. Mi aiuti ? grazie!

Albert
13 Marzo 2013 at 16:10

t^2-10t+8>0
delta=25-8=17 -> t(1,2)=5+-rad(17)

t<5-rad(17) V t>5+rad(17)

x^2<5-rad(17) V x^2>5+rad(17)

-rad(5-rad(17))rad(5+rad(17))

che messe in ordine diventano:

x<-rad(5+rad(17)) V -rad(5-rad(17))rad(5+rad(17))

Disequazioni

Definizione di disequazione

Il piu' piccolo e' sempre verso la punta

disequazione di primo grado

disequazione di primo grado ad una incognita

rappresentazione grafica nelle disequazioni

Esercizi

cambiamento di segno e verso nelle disequazioni

Esercizi sulle disequazioni di primo grado

Esercizio

disequazione di primo grado a due incognite

disequazione di primo grado a piu' incognite (cenni)

sistemi di disequazioni di primo grado

applicazione dei sistemi di primo grado

segno di espressioni prodotto di due espressioni elementari

Come costruire lo schema

Calcoli

segno di espressioni quoziente di due espressioni elementari

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disequazioni di secondo grado

determinazione del segno di un polinomio di secondo grado

determinazione del segno di un polinomio di secondo grado: delta maggiore di zero

determinazione del segno di un polinomio di secondo grado: delta uguale a zero

determinazione del segno di un polinomio di secondo grado: delta minore di zero

parabola che interseca in due punti l'asse delle x

parabola tangente all'asse delle x

parabola che non tocca l'asse delle x

tabella di riepilogo

tabella di riepilogo con a maggiore di zero

tabella di riepilogo con a minore di zero

sistemi con disequazioni di secondo grado

sistema di disequazioni di secondo grado

sistema con disequazioni di primo e secondo grado

applicazioni a disequazioni prodotto di espressioni di primo e secondo grado

disequazione prodotto di tre disequazioni di primo e secondo grado

applicazioni a disequazioni quoziente di espressioni di primo e secondo grado

disequazione fratta maggiore od uguale a zero

disequazione fratta minore od uguale a zero

disequazione con numeratore e denominatore semplificabili

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Sistemi di equazione e disequazioni

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