Testo
Si dimostri che la curva di equazione \(y=x^3+ax+b\) ha uno ed un solo punto diflesso rispetto a cui è simmetrica.

Soluzione

L’equazione \(y=x^3+ax+b\) rientra nelle equazioni rappresentative delle funzioni cubiche \( y=ax^3+bx^2+cx+d\) le quali sono simmetriche rispetto al loro punto di flesso.
Per determinare il punto di flesso, calcoliamo \( y’=3x^2+a\) e \(y”=6x\). \(y”\) si annulla per \(x=0\). Il punto di flesso ha coordinate \((0,b)\).
Dimostriamo che l’equazione data è invariante per una trasformazione di simmetria centrale
\[\sigma(a,b):
\begin{cases}x’=-x+2a\\y’=-y+2b\end{cases}
\]
nel nostro caso si riducono a
\[
\sigma(0,b):
\begin{cases}
x’=-x\\
y’=-y+2b
\end{cases}
\]
Ottenute le equazioni della trasformazione inversa
\[
\sigma^{-1}(0,b):
\begin{cases}
x=-x’\\
y=-y’+2b
\end{cases}
\]
le andiamo a sostituire nell’equazione originaria \(y=x^3+ax+b\). Abbiamo così
\[
y’=(x’)^3+a(x’)+b.
\]
Da cui è immediato concludere che se la \((x,y)\) è soluzione dell’equazione originaria allora lo è pure la coppia \((x’,y’)\). La curva è quindi simmetrica rispetto al punto \((0,b).\)