Testo

Il valor medio della funzione \(f(x) = x^3\) sullintervallo chiuso \([0, k]\) è 9. Si determini \textit{k}.

Soluzione

Il valor medio \(\overline{f}\) di una funzione f continua in un intervallo [a, b] è rappresentato
dall’ integrale definito

\[
\overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x) \ \mbox{d}x.
\]

L’ intervallo dato dal testo presuppone implicitamente che sia k sia positivo e sostituendo i dati forniti dal problema nell’ espressione precedente si ha

\[
9 = \frac{1}{k-0}\int_{0}^{k}x^3 \ \mbox{d}x.
\]

L’ integrale indefinito associato si risolve facilmente in quanto

\[
\int x^3 \ \mbox{d}x = \frac{x^4}{4} + c
\]

Quindi otteniamo

\[
9=\frac{1}{k} \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^k \quad \Rightarrow \quad 9=\frac{1}{k} \cdot \left[\frac{k^4}{4}-0\right] \quad \Rightarrow \quad 9=\frac{k^3}{4}.
\]

L’ unica soluzione reale dell’ equazione è \(x^3=36\), da cui \(k=\sqrt[3]{36}\) che essendo positiva risulta accettabile.