Testo

Si determinino i valori reali di x per cui:

\[
\left(\frac{1}{5}(x^2-10x+26)\right)^{x^2-6x+1}=1
\]

Soluzione

Le soluzioni dell’ equazione esponenziale si deducono tenendo innanzitutto presente la condizione che garantisce significato
alla scrittura

\[
[f(x)]^{g(x)}
\]

dove deve essere \(f(x) > 0\),quindi \(x^2-10x+26 > 0\). Poichè il discriminante dell’ equazione associata è \(\frac{\Delta}{4}=25-26 < 0\), ne segue che il primo membro della equazione fornita è sempre definito e positivo. Per l' iniettività della funzione logaritmo,\[ \forall \ x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+, \quad \ln(x_2) = \ln(x_1) \quad \Rightarrow \quad x_2=x_1 \]possiamo considerare il logaritmo di entrambi i membri dell' equazione fornita ed ottenere\[ (x^2 - 6x + 1)\ln \left[\frac{1}{5}(x^2-10x+26)\right]=0 \]dove, in base alla proprietà \(\ln(a^b) = b \ln a\) si è posto a fattore l'esponente dell' argomento del logaritmo. Deduciamo quindi\[ x^2 - 6x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{8} = 3 \pm 2\sqrt{2} \]oppure\[ \ln \left[\frac{1}{5}(x^2-10x+26)\right]=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{5}(x^2-10x+26)=1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 10x + 21 = 0 \]\[ x_{3,4}= 5 \pm \sqrt{4} \]Le soluzioni dell'equazione sono: \(x_1=3 - 2\sqrt{2}, \ x_2=3 + 2\sqrt{2}, x_3=3, x_2=7\).