Testo

Nella figura a lato è disegnato il grafico \(\Gamma\) di \(g(x) = \int_{0}^{x}f(t)\,dt\) con f funzione definita sull’ intervallo \([0, w]\) e ivi continua e derivabile. \(\Gamma\) è tangente all’ asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per x=h e x=k.

1) Si determinino f(0) e \(f(k)\); si dica se il grafico della funzione f presenta punti di massimo o di minimo e se ne tracci il possibile andamento.
2) Si supponga, anche nei punti successivi 3 e 4, che \(g(x)\) sia, sull’ intervallo considerato, esprimibile come funzione polinomiale di terzo grado. Si provi che, in tal caso, i numeri h e k dividono l’ intervallo \([0, w]\) in tre parti uguali.
3) Si determini l’espressione di \(g(x)\) nel caso \(w=3\) e \(g(1)=\frac{2}{3}\) e si scrivano le equazioni delle normali a \(\Gamma\) nei punti in cui esso è tagliato dalla retta \(y=\frac{2}{3}\).
4) Si denoti con R la regione che \(\Gamma\) delimita con l’ asse x e sia W il solido che essa descrive nella rotazione completa attorno all’asse y. Si spieghi perchè il volume di W si può ottenere calcolando:

\[
\int_{0}^{3}(2\pi x)g(x) \ \mbox{d} x
\]

Supposte fissate in decimetri le unità di misura del sistema monometrico Oxy, si dia la capacità in litri di W.

Soluzione

1) Per rispondere alla richiesta esposta al punto 1 si deve considerare che, in base al teorema di Torricelli-Barrow, la derivata della funzione integrale \(g'(x)\) è pari alla funzione integranda calcolata nell’ estremo superiore di integrazione ossia vale

\[
g'(x)= D\left[\int_{0}^{x}f(t) \ dt \right]=f(x)
\]

Pertanto è pure \(f(0) = g'(0)\) e siccome il testo afferma che il grafico \(\Gamma\) è tangente all’ asse x nell’origine, significa che \(g'(0) = 0\) per cui \(f(0) = 0\). Poichè inoltre il medesimo grafico presenta in \(x = k\) un massimo relativo (e assoluto) proprio e la funzione f, cioè la \(g'(x)\) è continua e derivabile, questa passa con continuità da valori positivi in un intorno sinistro di \(x = k\) a valori negativi in un intorno destro assumento in \(x = k\) il valore nullo ossia \(f(k) = g'(k) = 0\).
Inoltre nell’ intervallo \([0, k]\) il grafico \(\Gamma\) appare strettamente crescente per cui

\[
f(x)= g'(x) > 0 \quad \mbox{se} \quad 0 < x < k, \]mentre risulta strettamente decrescente in \([k, w]\) e quindi\[ f(x)= g'(x) < 0 \quad \mbox{se} \quad k < x \leq w. \]Seppure in modo qualitativo osserviamo che il coefficiente angolare della retta tangente a \(\Gamma\) in \([0, k]\) (cioè \textit{g'(x})) assume all'aumentare di \textit{x} in \([0, h]\) valori sempre maggiori, mentre successivamente in \([h, k]\) i suoi valori decrescono gradualmente fino ad annullarsi in \(x = k\) per poi in \([k, w]\), ulteriormente diminuire fino a \(x = w\).
Con tali informazioni possiamo quindi ipotizzare un andamento qualitativo per il grafico di \(f(x)\) e rappresentarlo nella figura sottostante.

2)Nell’ipotesi che la \(g(x)\) sia esprimibile in termini di un polinomio di terzo grado potremo scrivere la funzione g come

\[
g(x)=ax^3+bx^2+cx+d
\]

con a, b, c, d coefficienti da determinare.\\
La condizione \(g(0)=0\) subito che sia \(d = 0\) e l’ espressione precedente si riduce alla

\[
g(x)=ax^3+bx^2+cx=x(ax^2+bx+c)
\]

Il testo afferma pure la tangenza del grafico di g nell’ origine cosicchè l’ equazione \(g(x)=0\) deve presentare in \(x = 0\) una radice di molteplicità 2. Il secondo fattore nella precedente equazione deve annullarsi in \(x = 0\) per cui anche il termine c deve essere nullo c = 0 e la g si riduce alla

\[
g(x)=x^2(ax+b)
\]

Infine poichè \(g(w) = 0\), l’ equazione sovrastante comporta

\[
w^2(aw+b)=0 \quad \Rightarrow \quad aw+b=0 \quad \Rightarrow b=-aw
\]

e in definitiva, l’ equazione rappresentativa della funzione g si è ridotta alla

\[ \label{eq5}
g(x) = x^2(ax-aw) = ax^2(x – w) = ax^3 – awx^2
\]

I punti in corrispondenza dei quali \(g'(x) = 0\) si deducono dalla

\[
g'(x) = D[ax^3 – awx^2] = 3ax^2 – 2awx = ax(3x – 2w) = 0
\]

da cui \(x = 0\) e \(x = \frac{2}{3}w\). Sia \(x = 0\) che \(x = \frac{2}{3}w\) sono i valori aspettati e, in
particolare, quest’ ultimo rappresenta il valore di k richiesto dal testo.
La derivata seconda è \(g”(x) = 6ax-2aw\) e, posta pari allo zero, fornisce l’ ascissa del punto di flesso ossia \textit{h}. In tal caso risulta

\[
6ax – 2aw = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}w=h
\]

e ciò dimostra come le ascisse \(h = \frac{1}{3}w\) e \(k = \frac{2}{3}w\), rispettivamente dei punti di flesso e di massimo per g, dividano l’ intervallo \([0,w]\) in tre parti uguali.

3) Le condizioni \(w = 3\) e \(g(1) = \frac{2}{3}\) permettono di definire i valori numerici dei due parametri ancora incogniti

\[
g(1) = a(1)^2(1 – 3) = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{3}
\]

per cui risulta definita la funzione

\begin{equation}\label{eq6}
g(x) = -\frac{1}{3}x^2(x – 3) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2.
\end{equation}

Per determinare le ascisse dei punti A e B di intersezione del grafico \(\Gamma \) con quello della retta di equazione \(y = \frac{2}{3}\) (fig. 3) va evidentemente risolta l’ equazione

\[
\frac{2}{3} = – \frac{1}{3}x^3 + x^2 \quad \Rightarrow \quad 2 = -x^3 + 3x^2 \quad \Rightarrow \quad x^3 – 3x^2 + 2 = 0
\]

della quale però, per la condizione \(g(1) = \frac{2}{3}\), conosciamo la soluzione \(x_A = 1\).
Con il metodo di Ruffini scomponiamo il polinomio \(x^3 – 3x^2 + 2\) nel prodotto \((x – 1)(x^2 – 2x – 2) = 0\) per cui l’ ascissa del secondo punto di intersezione discende dall’ equazione

\[
x^2 – 2x – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1+2} = 1 \pm \sqrt{3}
\]

dove, per l’ appartenenza all’ intervallo [0, 3], accettiamo solo \(x_B = 1 + \sqrt{3}\).
Il calcolo della derivata prima \(g'(x) = -x^2 +2x\) nei punti appena determinati

\[
A\left(1, \frac{2}{3}\right) \quad B\left(1+\sqrt{3}, \frac{2}{3}\right)
\]

fornisce

\[
g'(x_A) = g'(1) = -1 + 2 = 1
\]

\[
g'(x_B) = g'(1+\sqrt{3}) = -(1+\sqrt{3})^2+2(1+\sqrt{3})=-2
\]

per cui, sapendo che i coefficienti angolari delle normali sono l’ antireciproco di quelli delle rispettive tangenti, le equazioni delle rette normali a \(\Gamma\) sono

\[
n_A : y – y_A = -\frac{1}{g'(x_A)}(x – y_A), \quad n_B : y – y_B = -\frac{1}{g'(x_B)}(x – y_B)
\]

ed esplicitamente

\[
n_A : y -\frac{2}{3} = -(x – 1), \quad nB : y -\frac{2}{3}=\frac{1}{2}(x – 1 -\sqrt{3})
\]

da cui
\[
n_A : y = -x +\frac{5}{3}, \quad n_B : y =\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

4) La regione R rappresentata in giallo nella fig. 4 genera in una rotazione completa attorno all’ asse y il solido W la cui sezione nel piano xy è la regione in colore nella medesima figura.

Per giustificare la formula proposta per il calcolo del volume W consideriamo i punti di ascissa \(x\in[0,3]\) e \(x + \mbox{d}x\), quest’ ultimo ottenuto sommando ad x il suo differenziale. Entrambi i valori si possono interpretare come i raggi di due cilindri (fig. 5), disposti uno interno all’ altro, aventi per asse comune l’ asse y e come altezza il valore della funzione in un qualsiasi punto compreso nell’ intervallo \([x, x+\mbox{d}x]\).
Supporremo che tale altezza sia il valore g(x) raggiunto nell’ estremo sinistro di \([x,x +\mbox{d}x]\) (fig. 6) ma per quanto seguira ogni altro valore può andarbene.
Il volume del cilindro interno di raggio x è dato da

\begin{equation}\label{eq7}
\mathcal{V} = \mathcal{A}(x)\cdot g(x) = \pi x^2 \cdot g(x)
\end{equation}

mentre per quello più esterno e raggio \(x + \mbox{d}x\)

\begin{equation}\label{eq8}
\mathcal{V}’= \mathcal{A}(x + \mbox{d}x) \cdot g(x) = \pi(x + \mbox{d}x)^2 \cdot g(x)
\end{equation}

La differenza \(\mathcal{V}’ – \mathcal{V} = d\mathcal{V}\) rappresenta quindi il volume di un guscio cilindrico avente spessore dx e altezza g(x). Otteniamo che il volume di tale guscio è

\[
d\mathcal{V} = \pi(x + \mbox{d}x)^2 g(x) – \pi x^2g(x) = \pi g(x) \cdot \left[x^2 + 2x \mbox{d}x + (dx)^2 – x^2 \right] = \pi g(x) \cdot \left[2x \mbox{d}x + (\mbox{d}x)^2\right]
\]

Se supponiamo dx piccolo a piacere cioè infinitesimo, possiamo trascurare il termine quadratico \((dx)^2\) rispetto a dx per cui

\begin{equation}\label{eq9}
d\mathcal{V} = \pi g(x)\left[2x \mbox{d}x + (\mbox{d}x)^2\right] \approx \pi g(x) \cdot 2x \mbox{d}x = 2\pi x \cdot g(x) \mbox{d}x.
\end{equation}

Abbiamo in tal modo ottenuto il differenziale del volume del solido W in funzione di x cosicchè il suo volume risulta espresso dalla somma di tali gusci infinitesimi al variare di x nell’ intervallo [0, 3] ossia dall’ integrale definito

\begin{equation} \label{eq10}
\mathcal{V}(W)=\int_{0}^{3}d\mathcal{V} = \int_{0}^{3}(2\pi x)g(x)\; \mbox{d}x
\end{equation}

che è il risultato che si voleva dimostrare. Il valore numerico del volume si ottiene risolvendo l’ integrale

\begin{equation} \label{eq11}
\mathcal{V}(W)=\int_{0}^{3}2\pi x \cdot \left(-\frac{1}{3}x^3+x^2\right)\;\mbox{d}x = -\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{3}x^4 \mbox{d}x + 2\pi \int_{0}^{3}x^3 \; \mbox{d}x
\end{equation}

Poichè

\[
\int x^4 \mbox{d}x = \frac{x^5}{5}+c \quad \mbox{e} \quad \int x^3\mbox{d}x = \frac{x^4}{4}+c
\]

gli altri integrali si risolvono in

\[
\mathcal{V}(W)= -\frac{2\pi}{3}\left[\frac{3^5}{5}-0\right]+2\pi \left[\frac{3^4}{4}-0\right]= 2\pi \cdot 3^4 \left(-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)= \frac{81}{10}\pi \ \mbox{dm}^3
\]

Il volume di W in litri è pertanto \(\mathcal{V}(W) = 8,1\pi \approx 25,4469 \ \mbox{dm}^3 = 25,4469 \ \mbox{litri}\).