Testo Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa. Soluzione Detto O il punto medio dell’ipotenusa AB del triangolo ABC, rettangolo in C, questo punto è il […]

Testo Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da: \[ f(x)=(ax+b)e^{\frac{-x}{3}}+3 \] dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto di ascissa 4 e che \[ f(0)=2 \] 1. Si provi che a=1 e b=-1 2. Si studi su R […]

Testo Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f’ e l’altro ancora di f”. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Soluzione Andiamo ad analizzare tutte le possibili […]

Testo Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio? Soluzione Indico con x la distanza da una delle basi del cilindro dal centro della sfera. L’altezza del cilindro è h=2x, con 2x compreso tra 0 e […]

Testo Si trovi il punto della curva \[ y=\sqrt{x} \] più vicino al punto di coordinate (4; 0). Soluzione La curva di equazione \[ y=\sqrt{x} \] con \[ x\geq0 \] è un arco di parabola con asse coincidente con l’asse x, così come si vede qui sotto: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} x=y^{2}\\ x\geq0\\ y\geq0 \end{array}\end{cases} \] […]

Testo Sia R la regione delimitata dalla curva \[ y=x^{3} \] dall’asse x e dalla retta x=2 e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W. Soluzione L’equazione \[ y=x^{3} \] è l’equazione della parabola cubica, il cui grafico è: Il volume richiesto W è […]