Testo Sia R la regione delimitata dalla curva \[ y=x^{3} \] dall’asse x e dalla retta x=2 e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W. Soluzione L’equazione \[ y=x^{3} \] è l’equazione della parabola cubica, il cui grafico è: Il volume richiesto W è […]
Testo Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n. Soluzione Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è dato dal coefficiente binomiale \[ C_{n,4}=\left(\begin{array}{c} n\\ 4 \end{array}\right)=\frac{n!}{4!\cdot(n-4)!} \] (e in maniera analoga […]
Testo Si calcoli \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\tan x-\tan a}{x-a} \] Soluzione Per risolvere il limite uso il metodo di De L’Hopital visto che il limite ha una forma di indeterminazione del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] e il limite del rapporto delle derivate delle funzioni a numeratore e denominatore esiste ed è \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{D\left(\tan x-\tan a\right)}{D\left(x-a\right)}=\lim_{x\rightarrow […]
Testo Si trovi l’area della regione delimitata dalla curva \[ y=cosx \] e dall’asse x da x=1 a x=2 radianti. Soluzione L’area desiderata (area colorata in figura, composta da due contributi diversi, uno sotto e uno sopra l’asse delle ascisse) è: \[ A=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{2}\cos\left(x\right)dx \] \[ A=|\sin\left(x\right)|_{1}^{\frac{\pi}{2}}-|\sin\left(x\right)|_{\frac{\pi}{2}}^{2} \] \[ A=1-\sin\left(1\right)-\sin\left(2\right)+1\approx0,25 \]
Testo Si provi che l’equazione \[ x^{2011}+2011x+12=0 \] ha una sola radice compresa fra -1 e 0. Soluzione La funzione \[ f(x)=x^{2011}+2011x+12 \] è polinomiale e continua in tutto R e quindi pure nell’intervallo \[ [-1,0] \] I valori di f(x) agli estremi dell’intervallo dato sono: \[ f(-1)=(-1)^{2011}-2011+12=-1-2011+12=-2000<0 \] e \[ f(0)=0+0+12>0 \] Perciò per […]
Testo In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perchè è così spesso citato? Soluzione Questo problema consiste nel costruire con i mezzi della geometria euclidea – cioè con i soli riga e compasso – un quadrato la cui area sia pari a quella di un cerchio dato. Questo significa costruire un segmento […]
Testo Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f(x)=x^{3}-4x\:,\: g(x)=senx \] 1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G(f)e G(g). 2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G(f) con la […]
Testo Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa. Soluzione Detto O il punto medio dell’ipotenusa AB del triangolo ABC, rettangolo in C, questo punto è il […]