Testo Si provi che l’equazione \[ x^{2011}+2011x+12=0 \] ha una sola radice compresa fra -1 e 0. Soluzione La funzione \[ f(x)=x^{2011}+2011x+12 \] è polinomiale e continua in tutto R e quindi pure nell’intervallo \[ [-1,0] \] I valori di f(x) agli estremi dell’intervallo dato sono: \[ f(-1)=(-1)^{2011}-2011+12=-1-2011+12=-2000<0 \] e \[ f(0)=0+0+12>0 \] Perciò per […]
Testo In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perchè è così spesso citato? Soluzione Questo problema consiste nel costruire con i mezzi della geometria euclidea – cioè con i soli riga e compasso – un quadrato la cui area sia pari a quella di un cerchio dato. Questo significa costruire un segmento […]
Testo Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f(x)=x^{3}-4x\:,\: g(x)=senx \] 1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G(f)e G(g). 2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G(f) con la […]
Testo Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa. Soluzione Detto O il punto medio dell’ipotenusa AB del triangolo ABC, rettangolo in C, questo punto è il […]
Testo Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da: \[ f(x)=(ax+b)e^{\frac{-x}{3}}+3 \] dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto di ascissa 4 e che \[ f(0)=2 \] 1. Si provi che a=1 e b=-1 2. Si studi su R […]
Testo Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f’ e l’altro ancora di f”. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Soluzione Andiamo ad analizzare tutte le possibili […]
Testo Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio? Soluzione Indico con x la distanza da una delle basi del cilindro dal centro della sfera. L’altezza del cilindro è h=2x, con 2x compreso tra 0 e […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2011 per il liceo scientifico. Traccia della seconda prova – Scientifico 2011Problema 1 – Scientifico 2011 (testo e soluzione)Problema 2 – Scientifico 2011 (testo e soluzione)Quesito 1 – Scientifico 2011 (testo e soluzione)Quesito 2 – Scientifico 2011 (testo e soluzione)Quesito 3 – Scientifico 2011 (testo […]