Testo

Si trovi il punto della curva \[ y=\sqrt{x} \] più vicino al punto di coordinate (4; 0).

Soluzione

La curva di equazione \[ y=\sqrt{x} \] con \[ x\geq0 \] è un arco di parabola con asse coincidente con l’asse x, così come si vede qui sotto: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} x=y^{2}\\ x\geq0\\ y\geq0 \end{array}\end{cases} \]

Indicando con \[ P(x_{P},y_{P}) \] il generico punto sulla curva \[ y=\sqrt{x} \] so che avrà coordinate \[ P(x,\sqrt{x}) \] e la distanza dal punto A sarà: \[ d=\overline{PA}=\sqrt{\left(x-4\right)^{2}+\left(\sqrt{x}-0\right)^{2}} \] \[ d=\sqrt{\left(x-4\right)^{2}+x}\; con\; x\geq0 \] d è minima anche quando è minima \[ f\left(x\right)=d^{2}=x^{2}-7x+16\; con\; x\geq0 \] quindi \[ f'(x)=2x-7\geq0\; con\; x\geq\frac{7}{2} \] Il valore minimo di f(x) sarà in corrispondenza di \[ x=-\frac{\left(-7\right)}{2}=\frac{7}{2} \] e questo è un punto di minimo (basta studiare il segno di f(x)) così si può dire che la distanza minima si ha per \[ P(\frac{7}{2},\sqrt{\frac{7}{2}}) \]