Testo

Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio?

Soluzione

Indico con x la distanza da una delle basi del cilindro dal centro della sfera.
L’altezza del cilindro è h=2x, con 2x compreso tra 0 e 2r, con r = 60 cm = raggio della sfera.
Se A è un punto qualsiasi della circonferenza di base, OA è il raggio della sfera per cui il quadrato del raggio di base del cilindro si deduce con il teorema di Pitagora applicato al triangolo OHA. \[ \overline{AH}^{2}=\overline{OA}^{2}-\overline{OH}^{2}\Longrightarrow\overline{AH}^{2}=r^{2}-x^{2} \]

Il suo volume è: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} V=\pi\overline{AH}^{2}\text{·}(2\overline{OH})=2\pi(r^{2}-x^{2})x\\ 0\leq x\leq r \end{array}\end{cases} \] Studiando la derivata di V posso dire che \[ V’\geq0 \] se \[ -\frac{r}{\sqrt{3}}\leq x\leq\frac{r}{\sqrt{3}} \] infatti: \[ V’=2\pi\left[-2x\text{·}x+r^{2}-x^{2}\right]=2\pi\cdot(-3x^{2}+r^{2}) \] \[ V’\geq0se-3x^{2}+r^{2}\geq0 \] Studiando il segno della funzione V’ vedo che c’è un punto di massimo per \[ x=\frac{r}{\sqrt{3}} \] dove il volume vale \[ V(\frac{r}{\sqrt{3}})=\frac{4\pi r^{3}}{3\sqrt{3}} \] Sostituendo al valore trovato i dati del testo del quesito (cioè r=60cm) ottengo \[ V=\frac{4\pi60^{3}}{3\sqrt{3}}=96000\pi\sqrt{3}\; cm^{3} \]