Testo

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da:

\[ f(x)=(ax+b)e^{\frac{-x}{3}}+3 \]

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto di ascissa 4 e che \[ f(0)=2 \] 1. Si provi che a=1 e b=-1

2. Si studi su R la funzione \[ f(x)=(x-1)e^{\frac{-x}{3}}+3 \] e se ne tracci il grafico G nel sistema di riferimento Oxy.

3. Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da G, dall’asse y e dalla retta y=3.

4. Il profitto di un’azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con x(i) l’anno di osservazione e con y(i) il corrispondente profitto.

Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell’andamento del profitto giudicando accettabile una funzione g definita su R positivo se per ciascun x(i) oggetto dell’osservazione, si ha: \[ |g(x_{i})-y_{i}|\leq10^{-1} \] Si verifichi, con l’aiuto di una calcolatrice, che è accettabile la funzione f del punto 2 e si dica, giustificando la risposta, se è vero che, in tal caso, l’evoluzione del fenomeno non potrà portare a profitti inferiori ai 3 milioni di euro.

Soluzione

Le condizioni date dal testo del sistema ci suggeriscono il sistema di equazioni: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} f\left(0\right)=2\\ f’\left(4\right)=0 \end{array}\end{cases} \] che si risolve in questo modo: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} \left(a\cdot0+b\right)\cdot e^{0}+3=2\\ dato\; f’\left(x\right)=a\cdot e^{\frac{-x}{3}}+\left(ax-1\right)\cdot e^{\frac{-x}{3}}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) \end{array}\end{cases} \] \[ \begin{cases} \begin{array}{c} \left(a\cdot0+b\right)\cdot e^{0}+3=2\\ f’\left(4\right)=e^{\frac{-4}{3}}\left(a-\frac{4}{3}a+\frac{1}{3}\right)=0 \end{array}\end{cases} \] \[ \begin{cases} \begin{array}{c} b=-1\\ a=1 \end{array}\end{cases} \] 2. Il dominio della funzione f(x) è tutto R e nel suo dominio non presenta simmetrie di nessun tipo, nè è periodica.
La funzione presenta solo un asintoto orizzontale per y=3 dato che il limite (per risolverlo si usi il teorema di De L’Hopital) risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=3 \] Posso vedere poi come la funzione intersechi il suo asintoto orizzontale per x=1 e che poi ci si avvicini allo stesso passando al di sopra della retta y=3.

Studiando la derivata prima \[ f'(x)=e^{\frac{-x}{3}}+\left(x-1\right)\cdot e^{\frac{-x}{3}}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) \] ed il suo segno, osservo come f(x) ha un punto di massimo in x=4; mentre studiando la derivata seconda \[ f”(x)=\frac{1}{3}\left[e^{\frac{-x}{3}}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(4-x\right)-e^{\frac{-x}{3}}\right]=\frac{1}{9}e^{\frac{-x}{3}}\left(x-7\right) \] vedo che per x=7 la funzione ha un punto di flesso e cambia la concavità.

3. La regione del piano della quale si chiede l’area è colorata in figura ed è pari all’integrale:

\[ A=\int_{0}^{1}\left[3-f(x)\right]dx=\int_{0}^{1}-(x-1)\cdot e^{\frac{-x}{3}}dx \]
Posto \[ t=-\frac{x}{3} \] da cui \[ x=-3t \] e perciò \[ dx=-3dt \] diventa: \[ A=-3(x-1)e^{\frac{-x}{3}}+3\int_{0}^{1}e^{\frac{-x}{3}}dx=9\cdot e^{\frac{-1}{3}}-6\thickapprox0,4488 \] 4. Per verificare che \[ f(x)=(x-1)e^{\frac{-x}{3}}+3 \] sia una funzione che rappresenta l’andamento di un possibile profitto, devo verificare la condizione \[ z_{i}=|f(x_{i})-y_{i}|<0,1 \] per i=0,1,…,6 (es. i=0 rispecchia il caso dell’anno 2004): \[ |f(0)-1,97|<0,1\Longrightarrow|2-1,97|<0,1\Longrightarrow0,03<0,1 \] \[ |f(1)-3,02|<0,1\Longrightarrow|3-3,02|<0,1\Longrightarrow0,02<0,1 \] \[ |f(2)-3,49|<0,1\Longrightarrow|3,5134-3,49|<0,1\Longrightarrow0,023<0,1 \] \[ |f(3)-3,71|<0,1\Longrightarrow|3,735-3,71|<0,1\Longrightarrow0,025<0,1 \] \[ |f(4)-3,80|<0,1\Longrightarrow|3,79-3,80|<0,1\Longrightarrow0,009<0,1 \] \[ |f(5)-3,76|<0,1\Longrightarrow|3,755-3,76|<0,1\Longrightarrow0,0045<0,1 \] \[ |f(6)-3,65|<0,1\Longrightarrow|3,676-3,65|<0,1\Longrightarrow0,026<0,1 \] La condizione è verificata per ogni i, cioè per tutti gli anni.
Per avere una previsione sull’andamento futuro del profitto, dobbiamo considerare l’andamento della funzione f(x).
La funzione, avendo un asintoto per x=3, ci porta a considerare che il profitto nel futuro non supererà i 3 milioni di euro.