Testo

Sia R la regione delimitata dalla curva \[ y=x^{3} \] dall’asse x e dalla retta x=2 e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W.

Soluzione

L’equazione \[ y=x^{3} \] è l’equazione della parabola cubica, il cui grafico è:

Il volume richiesto W è la differenza tra il volume del cilindro (avente raggio di base r = 2 ed altezza h = 8) e il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse y della regione S: \[ V_{cil}-V_{S}=\pi r^{2}h-V_{S}=32\pi-V_{S} \] con: \[ V_{S}=\pi\int_{0}^{8}\left(\sqrt[3]{y}\right)^{2}dy=\pi\int_{0}^{8}y^{\frac{2}{3}}dy=\frac{3\cdot32\pi}{5} \] così ottengo: \[ V_{cil}-V_{S}=32\pi-\frac{3\cdot32\pi}{5}=\frac{64}{5}\pi \]