Categoria: Esercizi di Matematica

Massimi e minimi – Problema 12

Determinare il massimo dell’area di un trapezio isoscele, dati la base minore b e il lato obliquo c. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{DC}=b \] \[ \overline{BC}=\overline{AD}=c \] \[ \overline{HB}=x \] Risulta \[ \overline{AB}=b+2x \] \[ \overline{CH}=\sqrt{c^{2}-x^{2}} \] L’area del trapezio vale \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] Viste le considerazioni sopra, possiamo scrivere questa […]

Calcolo della derivata terza

Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{10}{9}x^{-\frac{1}{3}} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=\frac{10}{9}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27}x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27\sqrt[3]{x^{4}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\sin x \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{\cos x}{\sin x} \] Derivando ulteriormente: \[ […]

Studio di funzioni – Esercizio 94

Vedi anche: → Tutti gli esercizi di studio di funzione → Guida allo studio di funzione → Studio di funzioni — Funzioni goniometriche Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=frac{e^{tan x}-1}{e^{tan x}+1};,: con; xinleft(-frac{pi}{2};+frac{pi}{2}right) ] 1) Dominio: [ D=left(-frac{pi}{2};+frac{pi}{2}right) ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)=frac{e^{tanleft(-xright)}-1}{e^{tanleft(-xright)}+1}=frac{e^{-tan x}-1}{e^{-tan x}+1} ] [ fleft(-xright)=left(frac{1}{e^{tan x}}-1right):left(frac{1}{e^{tan x}}+1right)=frac{1-e^{tan x}}{e^{tan x}}cdotfrac{e^{tan x}}{1+e^{tan x}}=frac{1-e^{tan x}}{1+e^{tan […]

Limite infinito per x che tende ad un valore finito – Batteria 1

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{5x-10}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|\frac{2}{5x-10}\right|>M \] sia verificata per tutti i […]

Studio di funzioni – Esercizio 95

Vedi anche: → Tutti gli esercizi di studio di funzione → Guida allo studio di funzione → Studio di funzioni — Funzioni razionali fratte Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=frac{xleft(x-1right)^{2}}{left(x+1right)^{2}} ] 1) Dominio: [ D=mathbb{R}-left{ -1right} ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)neq fleft(xright) ] [ fleft(-xright)neq-fleft(xright) ] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni […]

Limite finito per x che tende all’infinito – Batteria 2

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}=\frac{1}{3} \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}-\frac{1}{3}\right|

Studio di funzioni – Esercizio 93

Vedi anche: → Tutti gli esercizi di studio di funzione → Guida allo studio di funzione → Studio di funzioni — Funzioni esponenziali Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=frac{2x-1}{xe^{x}} ] 1) Dominio: [ xneq0 ] [ D=mathbb{R}-left{ 0right} ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)neq fleft(xright) ] [ fleft(-xright)neq-fleft(xright) ] f(x) non è ne pari, ne dispari. […]

Limite finito per x che tende ad un valore finito – Batteria 2

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{x^{2}+7}=2 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di 1. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sqrt[3]{x^{2}+7}-2\right|\left(2-\varepsilon\right)^{3}\;\wedge\; x^{2}+7\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}\sqrt{\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7}\;\wedge\; x0 \] […]

Studio di funzioni – Esercizio 92

Vedi anche: → Tutti gli esercizi di studio di funzione → Guida allo studio di funzione → Studio di funzioni — Funzioni logaritmiche Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=x+ln x+frac{2}{x}+2 ] 1) Dominio: [ x>0 ] [ D=left(0;+inftyright) ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)neq fleft(xright) ] [ fleft(-xright)neq-fleft(xright) ] f(x) non è ne pari, ne dispari. […]

Limiti – Applicare la definizione

Esercizi svolti sulla definizione di limite: Limite finito per x che tende ad un valore finito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende ad un valore finito 2 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 2 (4 esercizi svolti)Limite infinito per […]