Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Funzioni razionali fratte
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Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=frac{x^{2}}{2}-x+lnleft|x+1right| ] 1) Dominio: [ x+1neq0rightarrow xneq-1 ] [ D=mathbb{R}-left{ -1right} ] La funzione si può scrivere in questo modo: [ fleft(xright)=left{ begin{array}{c} frac{x^{2}}{2}-x+lnleft(x+1right); se; x>-1\ frac{x^{2}}{2}-x+lnleft(-x-1right); se; x<-1 end{array}right. ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)neq fleft(xright) ] [ fleft(-xright)neq-fleft(xright) ] f(x) non è ne pari, ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: [ left{ begin{array}{c} x=0\ fleft(xright)=0 end{array}right.rightarrowleft(0;0right)in fleft(xright) ] [ fleft(xright)=0rightarrowfrac{x^{2}}{2}-x+lnleft|x+1right|=0rightarrowfrac{x^{2}}{2}-x=-lnleft|x+1right| ] Per via grafica:
quindi: [ fleft(xright)=0rightarrow x=0 ] già trovato in precendenza, ma anche: [ fleft(xright)=0rightarrow alphasimeq-1,16 ] 4) Segno: [ fleft(xright)>0rightarrowfrac{x^{2}}{2}-x+lnleft|x+1right|>0rightarrowfrac{x^{2}}{2}-x>-lnleft|x+1right| ] Dallo stesso grafico rappresentato nella sezione intersezioni con gli assi, ricaviamo: [ fleft(xright)>0rightarrow x<alpha:vee: x>0 ] 5) Limiti: [ lim_{xrightarrowpminfty}fleft(xright)=+infty ] [ lim_{xrightarrowpminfty}frac{fleft(xright)}{x}=infty ] Non ci sono asintoti obliqui. [ lim_{xrightarrow1^{pm}}fleft(xright)=-infty ] x=-1 è un asintoto verticale.
6) Derivate:
Se x>-1: [ f’left(xright)=x-1+frac{1}{x+1}=frac{x^{2}}{x+1} ] [ f’left(xright)geq0:forall x>-1 ] [ f’left(xright)=0rightarrow x=0 ] Quindi per x>-1 la funzione è crescente, e in (0;0) abbiamo un punto di flesso a tangente orizzontale.
Se x<-1: [ f’left(xright)=x-1-frac{1}{-x-1}=frac{x^{2}}{x+1} ] [ f’left(xright)<0:forall x<-1 ] Quindi per x<-1 la funzione è decrescente.
Derivata seconda:
Visto che le derivate per x<-1 e per x>1 sono uguali, nel Dominio si ha: [ f”left(xright)=frac{2x^{2}+2x-x^{2}}{left(x+1right)^{2}}=frac{x^{2}+2x}{left(x+1right)^{2}} ] [ f”left(xright)geq0rightarrow x^{2}+2xgeq0rightarrow xleq-2:vee: xgeq0 ] Quindi per valori esterni a -2 e 0, la funzione è convessa, per valori interni (escluso x=-1 in cui non esiste) la funzione è concava. Oltre al flesso in x=0 trovato in precedenza, abbiamo anche un flesso a tangente obliqua in x=-2: [ Fleft(-2;4right) ]
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MI spiegate comè è possibile che per che tende a -1 abbiamo un asintoto verticale? Grazie
Studiando il limite da destra 1+ e da sinistra 1- si vede che ln|x+1| è l’unica funzione che tende a meno infinito in entrambi i casi (traccia il grafico), i primi due termini diventano costanti.
non mi trovare con la derivata prima nell’intervallo con x>-1…
perché c’è quel meno prima di (1/ -x-1) ?
Perché devi moltiplicare anche per la derivata dell’argomento del logaritmo che essendo -x-1 avrà come derivata -1