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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left|x+1\right| \] 1) Dominio: \[ x+1\neq0\rightarrow x\neq-1 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} \] La funzione si può scrivere in questo modo: \[ f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left(x+1\right)\; se\; x>-1\\ \frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left(-x-1\right)\; se\; x<-1 \end{array}\right. \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow\frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left|x+1\right|=0\rightarrow\frac{x^{2}}{2}-x=-\ln\left|x+1\right| \] Per via grafica:

quindi: \[ f\left(x\right)=0\rightarrow x=0 \] già trovato in precendenza, ma anche: \[ f\left(x\right)=0\rightarrow \alpha\simeq-1,16 \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left|x+1\right|>0\rightarrow\frac{x^{2}}{2}-x>-\ln\left|x+1\right| \] Dallo stesso grafico rappresentato nella sezione intersezioni con gli assi, ricaviamo: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x<\alpha\:\vee\: x>0 \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\infty \] Non ci sono asintoti obliqui. \[ \lim_{x\rightarrow1^{\pm}}f\left(x\right)=-\infty \] x=-1 è un asintoto verticale.

6) Derivate:

Se x>-1: \[ f’\left(x\right)=x-1+\frac{1}{x+1}=\frac{x^{2}}{x+1} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\:\forall x>-1 \] \[ f’\left(x\right)=0\rightarrow x=0 \] Quindi per x>-1 la funzione è crescente, e in (0;0) abbiamo un punto di flesso a tangente orizzontale.

Se x<-1: \[ f’\left(x\right)=x-1-\frac{1}{-x-1}=\frac{x^{2}}{x+1} \] \[ f’\left(x\right)<0\:\forall x<-1 \] Quindi per x<-1 la funzione è decrescente.

Derivata seconda:

Visto che le derivate per x<-1 e per x>1 sono uguali, nel Dominio si ha: \[ f”\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}}{\left(x+1\right)^{2}}=\frac{x^{2}+2x}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+2x\geq0\rightarrow x\leq-2\:\vee\: x\geq0 \] Quindi per valori esterni a -2 e 0, la funzione è convessa, per valori interni (escluso x=-1 in cui non esiste) la funzione è concava. Oltre al flesso in x=0 trovato in precedenza, abbiamo anche un flesso a tangente obliqua in x=-2: \[ F\left(-2;4\right) \]

 

 

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