Problemi svolti di massimo e minimo sui triangoli: Massimi e minimi – Problema 1 Massimi e minimi – Problema 2 Massimi e minimi – Problema 3 Massimi e minimi – Problema 4 Massimi e minimi – Problema 5 Massimi e minimi – Problema 6
Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del seno: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0 \] Visto che il limite della funzione che sta all’argomento del seno tende a 0, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sin0=0 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\cos e^{x} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello in cui è massima l’altezza relativa all’ipotenusa? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa e h l’altezza relativa ad essa. Sapendo che l’area del triangolo è \[ A=\frac{ab}{2} \] ma anche \[ A=\frac{ih}{2} \] allora \[ \frac{ab}{2}=\frac{ih}{2}\rightarrow h=\frac{ab}{i} \] […]
Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{x^{2}+3x+6} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta sotto radice: \[ \lim_{x\rightarrow2}\left(x^{2}+3x+6\right)=4+6+6=16 \] Visto che il radicando tende a 16, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{x^{2}+3x+6}=\lim_{x\rightarrow2}\sqrt{16}=4 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x-1}} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta sotto radice: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\left(x+1\right)=2 \] Visto che il radicando tende a […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello di minima ipotenusa? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa vale \[ i=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e s, grazie […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dei cateti? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Poniamo \[ s=a+b \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e i, grazie […]
Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto x del rispettivo dominio. Confrontare il dominio D della funzione data con il dominio D’ della sua funzione derivata. Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2} \] Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 2\right\} \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dell’altezza relativa all’ipotenusa e di un cateto? Soluzione Chiamiamo h l’altezza relativa all’ipotenusa. Chiamiamo a e b i cateti. Poniamo \[ s=h+b \] Questa funzione ha due variabili (h e b), ma possiamo scrivere h […]
Inscrivere in un triangolo, di base b e altezza h, il rettangolo avente la base su b e di area massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{HF}=\overline{KE}=x \] \[ \overline{KH}=\overline{EF}=y \] \[ \overline{HB}=b \] \[ \overline{AH}=h \] Consideriamo il rettangolo GFED. La sua area vale \[ A_{2}=xy \] Scriviamo y in funzione […]
Tra tutti i triangoli con la stessa ipotenusa, trovare quello di area massima. Soluzione Chiamiamo i l’ipotenusa, ricordandoci che è una costante. Chiamiamo a e b i cateti. L’area vale: \[ A=\frac{ab}{2} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo esprimere l’una in funzione dell’altra ( e dell’ipotenusa) grazie al teorema di […]