Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infiniti: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+1 \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=x \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero. Osserviamo che, per \[ \alpha=3 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{3}}=1 \] […]

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto x del rispettivo dominio. Confrontare il dominio D della funzione data con il dominio D’ della sua funzione derivata. Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2} \] Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 2\right\} \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al […]

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infinitesimi: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{2}-1 \] per \[ x\rightarrow1 \] Soluzione In questo caso l’infinitesimo campione è \[ \varphi\left(x\right)=x-1 \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero. Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}}\cdot\lim_{x\rightarrow1}\left(x+1\right) \] Osserviamo […]

Di tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro 2P, qual’è quello di superficie massima? Soluzione Dato un rettangolo generico di base b e altezza h, l’area vale \[ A=bh \] Visto che il perimetro è costante, possiamo ricavarci h in funzione di b: \[ 2P=2\left(b+h\right)\rightarrow P=b+h \] \[ h=P-b \] Ora la nostra funzione A […]

Calcolare i seguenti limiti, che spesso si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}} \] Questo limite NON si presenta in forma indeterminata, perchè \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\cos x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-} \] quindi l’esponente \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\frac{1}{2\cos x-1}=\frac{1}{1^{-}-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty \] Di conseguenza \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}}=\lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{-\infty}=0 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} \] Questo limite si presenta, all’interno della parentesi, nella […]

Calcolare i seguenti limiti, che si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Scomponendo il denominatore come differenza di quadrati otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata […]

Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma tra ipotenusa e un cateto, qual è quello di area massima? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Risulta costante la somma \[ s=i+b\rightarrow i=s-b \] Sapendo che l’area del triangolo è \[ A=\frac{ab}{2} \] possiamo scrivere a in funzione di b e di […]

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x} \] Questo limite si presenta nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Operiamo la sostituzione \[ t=\frac{x}{2}\rightarrow x=2t \] osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}t=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{2}=0 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{2t}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=1 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 […]