Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x\geq+1 \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\:\cup\:\left[+1;+\infty\right) \] In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1). 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{x}-1}{x} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{-x}-1}{-x}=-\frac{e^{-x}-1}{x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ e^{x}-1=0 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ e^{x}=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^{2}}e^{x} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt[3]{\left(-x\right)^{2}}e^{-x}=\sqrt[3]{x^{2}}e^{-x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\;\forall x\in\mathbb{R} \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo: Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x} \] 1) Dominio: \[ 1+\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\geq-1\;\forall x\mathbb{\in R} \] \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{1+\left|-x\right|}=\sqrt{1+\left|x\right|}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo: Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x^{2}-x\geq0 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ x^{2}+x\geq0 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x\leq0\:\vee\: x\geq1 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1-\left|x\right|}{1+\left|x\right|}} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo: Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \] 1) Dominio: \[ \frac{1-\left|x\right|}{1+\left|x\right|}\geq0 \] \[ Num\geq0\rightarrow1-\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\leq1\rightarrow x\in\left[-1;+1\right] \] \[ Den>0\rightarrow1+\left|x\right|>0\rightarrow\left|x\right|>-1\;\forall x\in\mathbb{R} \] \[ D=\left[-1;+1\right] \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{\frac{1-\left|-x\right|}{1+\left|-x\right|}}=\sqrt{\frac{1-\left|x\right|}{1+\left|x\right|}}=f\left(x\right) \] f(x) […]