In una frazione il denominatore supera di 13 i 2/3 del numeratore; aggiungendo 10 ad entrambi i termini si ottiene una nuova frazione, equivalente a 4/5. Determinare la frazione. Soluzione Chiamando x il numeratore N, l’equazione da risolvere sarà la seguente: \[ \frac{x+10}{\frac{2}{3}x+13+10}=\frac{4}{5} \] \[ \frac{x+10}{\frac{2}{3}x+23}=\frac{4}{5} \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ \frac{2}{3}x+23\neq0 \] \[ […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x}{e^{x}-1} \] 1) Dominio: \[ e^{x}-1\neq0\rightarrow e^{x}\neq1\rightarrow x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=0 \end{array}\right.\rightarrow x=0\:\notin D\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: […]
Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{5}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{5}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-1+\frac{1}{x^{3}}\right)=-1 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^{5}+x^{2}\right)=-\infty \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[x^{4}\left(-3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)\right] \] Risulta \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{4}=+\infty \] e \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x^{4}}\right)=-3 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(-3x^{4}+5x^{3}-x^{2}-x+2\right)=-\infty \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}\right) \] Soluzione \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[x^{4}\left(-5+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right)\right] \] […]
Risolvere le seguenti equazioni frazionarie numeriche: 1) \[ \frac{3}{x}=\frac{4}{x-1} \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ x\neq0 \] \[ x-1\neq0\rightarrow x\neq1 \] Portiamo le frazioni al minimo comune denominatore: \[ \frac{3}{x}-\frac{4}{x-1}=0 \] \[ \frac{3\left(x-1\right)-4x}{x\left(x-1\right)}=0 \] Semplifichiamo il denominatore: \[ 3\left(x-1\right)-4x=0 \] \[ 3x-3-4x=0 \] \[ -x=3 \] \[ x=-3 \] che è una soluzione accettabile. 2) […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{1-x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x>0\\ x\neq1 \end{array}\right. \] \[ D=\left(0;1\right)\:\cup\:\left(1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \ln x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=e […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{1-x}=+\infty \] La funzione è definita per \[ x\leq1 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \sqrt{1-x}>M \] sia verificata per tutti i valori di x […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2^{x+\frac{1}{x}} \] La funzione può essere scritta anche così: \[ f\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2^{-\frac{x^{2}+1}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(2x^{3}-1\right)=\infty \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|2x^{3}-1\right|>M \] sia verificata per tutti i valori di x […]
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=e^{\frac{x-2}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=e^{\frac{x+2}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] […]
Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\frac{3}{2}}\frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}=-\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq\frac{3}{2} \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{M}}\;\wedge\; x