Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{1-x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x>0\\ x\neq1 \end{array}\right. \] \[ D=\left(0;1\right)\:\cup\:\left(1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \ln x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=e \end{array}\right.\rightarrow\left(e;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num>0\rightarrow x>e\\ Den>0\rightarrow x<1 \end{array}\right.\rightarrow x\in\left(1;e\right) \] Tra x=0 e x=1 la funzione è negativa, tra x=1 e x=e la funzione è positiva, per x>e di nuovo negativa.
5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}-\frac{1}{x}=0^{-} \] y=0 è un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow1^{\pm}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1^{\pm}}\frac{-1}{0^{\mp}}=\pm\infty \] x=1 è un asintoto verticale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=-\infty \] Anche x=0 è un asintoto verticale.
6) Derivate: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{1-x} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}-1+\ln x-1}{\left(1-x\right)^{2}}=\frac{\frac{1}{x}+\ln x-2}{\left(1-x\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\frac{1}{x}\geq-\ln x+2 \] Per via grafica:
Tra le curve ci sono due punti di intersezione, e possiamo dedurre un massimo e un minimo: \[ MAX\left(0,3;-3,1\right) \] \[ MIN\left(6,4;-0,2\right) \] Omettiamo il calcolo della derivata seconda.
Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
A me il grafico della risoluzione per determinare max e min risulta diverso… dove sono i due punti di intersezione? E come si fa a stabilire che M e m appartengono a quegli intervalli?
Il primo punto di intersezione non si vede: sta in alto vicino all’asse y. Si ricavano per tentativi guardando il grafico. Effettivamente però li avevo scritti male: ora ho corretto!
anzi non gli avevo scritti male: avevo inserito solo gli intervalli ai quali appartenevano le xMIN e xMAX: ora ho approssimato le x e calcolato anche le altezze
PER RISOLVERE LA DERIVATA PRIMA DEVO VEDERE PER FORZA LE FUNZIONI A LIVELLO GRAFICO ? GRAZIE IN ANTICIPO PER LA RISPOSTA E COMPLIMENTI PER LA PREPARAZIONE….
Si, in questo caso si. Grazie!
Il grafico di -ln(x)+2 e di 1/x è stato fatto correttamente, ma le etichette che identificano le due funzioni sono invertite
Grazie Giulio, ho modificato.
N=lnx -1
Derivata del numeratore:
N’=1/x
D=1-x
Derivata del denominatore:
D’=-1
Formula:
f'(x)=(N’D-ND’)/D^2
f'(x)=(1/x(1-x)-(lnx -1)(-1))/(1-x)^2
f'(x)=(1/x -1+lnx -1)/(1-x)^2
f'(x)=(1/x +lnx -2)/(1-x)^2
non riescoa capire la derivata prima..non dovrebbe essere la derivata del numeratore per il denominatore senza derivare? cioè 1\x (1-x) ?? invece lei mette 1\x -1 ..può aiutarmi a capire dove sbaglio?
Ciao Anonimo,
l’unico grafico in cui una curva compare a sinistra dell’asse y è quello in cui metto a confronto 1/x con -lnx + 2. E 1/x compare ovviamente da entrambe le parti, anche se della parte sinistra non ne tengo conto perchè appunto il dominio della mia funzione è R positivo.
non capisco come possa la curva avere rappresentazione a sinistra di 0.