Studio di funzioni – Esercizio 98

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{1-x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x>0\\ x\neq1 \end{array}\right. \] \[ D=\left(0;1\right)\:\cup\:\left(1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \ln x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=e \end{array}\right.\rightarrow\left(e;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num>0\rightarrow x>e\\ Den>0\rightarrow x<1 \end{array}\right.\rightarrow x\in\left(1;e\right) \] Tra x=0 e x=1 la funzione è negativa, tra x=1 e x=e la funzione è positiva, per x>e di nuovo negativa.

5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}-\frac{1}{x}=0^{-} \] y=0 è un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow1^{\pm}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1^{\pm}}\frac{-1}{0^{\mp}}=\pm\infty \] x=1 è un asintoto verticale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=-\infty \] Anche x=0 è un asintoto verticale.

6) Derivate: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{1-x} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}-1+\ln x-1}{\left(1-x\right)^{2}}=\frac{\frac{1}{x}+\ln x-2}{\left(1-x\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\frac{1}{x}\geq-\ln x+2 \] Per via grafica:

Tra le curve ci sono due punti di intersezione, e possiamo dedurre un massimo e un minimo: \[ MAX\left(0,3;-3,1\right) \] \[ MIN\left(6,4;-0,2\right) \] Omettiamo il calcolo della derivata seconda.

 

 

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13 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 98

  1. A me il grafico della risoluzione per determinare max e min risulta diverso… dove sono i due punti di intersezione? E come si fa a stabilire che M e m appartengono a quegli intervalli?

    1. Il primo punto di intersezione non si vede: sta in alto vicino all’asse y. Si ricavano per tentativi guardando il grafico. Effettivamente però li avevo scritti male: ora ho corretto!

    2. anzi non gli avevo scritti male: avevo inserito solo gli intervalli ai quali appartenevano le xMIN e xMAX: ora ho approssimato le x e calcolato anche le altezze

  2. PER RISOLVERE LA DERIVATA PRIMA DEVO VEDERE PER FORZA LE FUNZIONI A LIVELLO GRAFICO ? GRAZIE IN ANTICIPO PER LA RISPOSTA E COMPLIMENTI PER LA PREPARAZIONE….

  3. N=lnx -1
    Derivata del numeratore:
    N’=1/x
    D=1-x
    Derivata del denominatore:
    D’=-1

    Formula:
    f'(x)=(N’D-ND’)/D^2

    f'(x)=(1/x(1-x)-(lnx -1)(-1))/(1-x)^2
    f'(x)=(1/x -1+lnx -1)/(1-x)^2
    f'(x)=(1/x +lnx -2)/(1-x)^2

  4. non riescoa capire la derivata prima..non dovrebbe essere la derivata del numeratore per il denominatore senza derivare? cioè 1\x (1-x) ?? invece lei mette 1\x -1 ..può aiutarmi a capire dove sbaglio?

  5. Ciao Anonimo,
    l’unico grafico in cui una curva compare a sinistra dell’asse y è quello in cui metto a confronto 1/x con -lnx + 2. E 1/x compare ovviamente da entrambe le parti, anche se della parte sinistra non ne tengo conto perchè appunto il dominio della mia funzione è R positivo.

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