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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=e^{\frac{x-2}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=e^{\frac{x+2}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=e \] y=e è quindi un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=0^{+} \] Per x che tende a 0 da destra, la funzione si pianta nell’origine. \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right)=+\infty \] Per x che tende a 0 da sinistra, x=0 è asintoto verticale.

6) Derivate: \[ f’\left(x\right)=e^{\frac{x-2}{x}}\cdot\frac{2}{x^{2}}=\frac{2e^{\frac{x-2}{x}}}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\:\forall x\in D \] Quindi per x diverso da zero la derivata è sempre positiva e la funzione sempre crescente.

Calcoliamo l’inclinazione della tangente della funzione per x che tende a zero da destra: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f’\left(x\right)=0 \] quindi la tangente è orizzontale.

Derivata seconda: \[ f’\left(x\right)=\frac{2e^{\frac{x-2}{x}}}{x^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{2\cdot\frac{2e^{\frac{x-2}{x}}}{x^{2}}x^{2}-2e^{\frac{x-2}{x}}\cdot2x}{x^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{4e^{\frac{x-2}{x}}-4xe^{\frac{x-2}{x}}}{x^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{4e^{\frac{x-2}{x}}\left(1-x\right)}{x^{4}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow1-x\geq0\rightarrow x\leq1 \] Quindi, nel dominio, per x<1 la funzione è convessa, per x>1 la funzione è concava. Si ha: \[ F\left(1;\frac{1}{e}\right) \]

 

 

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