Categoria: Esercizi di Matematica

Studio di funzioni – Esercizio 94

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\;,\: con\; x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 1) Dominio: \[ D=\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{\tan\left(-x\right)}-1}{e^{\tan\left(-x\right)}+1}=\frac{e^{-\tan x}-1}{e^{-\tan x}+1} \] \[ f\left(-x\right)=\left(\frac{1}{e^{\tan x}}-1\right):\left(\frac{1}{e^{\tan x}}+1\right)=\frac{1-e^{\tan x}}{e^{\tan x}}\cdot\frac{e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}}=\frac{1-e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}} \] \[ f\left(-x\right)=-f\left(x\right) \] f(x) è dispari, per comodità la studiamo solo nell’intervallo {[}0;pi/2). Per x negative, la curva sarà simmetrica rispetto […]

Limite infinito per x che tende ad un valore finito – Batteria 1

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{5x-10}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|\frac{2}{5x-10}\right|>M \] sia verificata per tutti i […]

Limite finito per x che tende all’infinito – Batteria 1

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x+2}=1 \] La funzione è definita per \[ x\neq-2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x}{x+2}-1\right|

Studio di funzioni – Esercizio 95

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ f\left(0\right)=0\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow x\left(x-1\right)^{2}=0\rightarrow x=0\:,\: x=1\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>0 \] \[ f\left(x\right)<0\rightarrow x<0 \] […]

Limite finito per x che tende all’infinito – Batteria 2

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}=\frac{1}{3} \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}-\frac{1}{3}\right|

Studio di funzioni – Esercizio 93

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{2x-1}{xe^{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow […]

Limite finito per x che tende ad un valore finito – Batteria 2

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{x^{2}+7}=2 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di 1. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sqrt[3]{x^{2}+7}-2\right|\left(2-\varepsilon\right)^{3}\;\wedge\; x^{2}+7\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}\sqrt{\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7}\;\wedge\; x0 \] […]

Studio di funzioni – Esercizio 92

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x+\ln x+\frac{2}{x}+2 \] 1) Dominio: \[ x>0 \] \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0 \end{array}\right.\rightarrow\nexists x\in D\;|\; x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) […]

Limiti – Applicare la definizione

Esercizi svolti sulla definizione di limite: Limite finito per x che tende ad un valore finito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende ad un valore finito 2 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 1 (4 esercizi svolti)Limite finito per x che tende all’infinito 2 (4 esercizi svolti)Limite infinito per […]

Studio di funzioni – Esercizio 90

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x\geq+1 \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\:\cup\:\left[+1;+\infty\right) \] In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1). 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: […]