Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{x^{2}+7}=2 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di 1.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sqrt[3]{x^{2}+7}-2\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 1.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\sqrt[3]{x^{2}+7}-2\right|<\varepsilon \] \[ \sqrt[3]{x^{2}+7}-2>-\varepsilon\;\wedge\;\sqrt[3]{x^{2}+7}-2<\varepsilon \] \[ \sqrt[3]{x^{2}+7}>2-\varepsilon\;\wedge\;\sqrt[3]{x^{2}+7}<2+\varepsilon \] \[ x^{2}+7>\left(2-\varepsilon\right)^{3}\;\wedge\; x^{2}+7<\left(2+\varepsilon\right)^{3} \] \[ x^{2}>\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}<\left(2+\varepsilon\right)^{3}-7 \] Visto che epsilon è piccolo a piacere, \[ \left(2-\varepsilon\right)^{3} \] è un po' più piccolo di 8, e \[ \left(2+\varepsilon\right)^{3} \] è un po' più grande di 8, quindi \[ x^{2}>\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7\;\wedge\; x^{2}<\left(2+\varepsilon\right)^{3}-7 \] ovvero \[ x>\sqrt{\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7}\;\wedge\; x<\sqrt{\left(2+\varepsilon\right)^{3}-7} \] \[ x\in\left(\sqrt{\left(2-\varepsilon\right)^{3}-7};\sqrt{\left(2+\varepsilon\right)^{3}-7}\right) \] costituisce un intorno completo di 1, e possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(x\sin\frac{1}{x}\right)=0 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di 0, eccetto per x=0. Possiamo proseguire per \[ x\neq0 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|x\sin\frac{1}{x}-0\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 0.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|x\sin\frac{1}{x}\right|<\varepsilon \] Osserviamo che \[ \left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leq\left|x\right| \] perchè la funzione seno ha come codominio valori compresi tra -1 e +1, che moltiplicati per x possono solo ridurre o al massimo rendere invariati i valori del modulo di x. Da questa considerazione: \[ \left|x\sin\frac{1}{x}\right|<\varepsilon\rightarrow\left|x\right|<\varepsilon \] \[ x>-\varepsilon\;\wedge\; x<\varepsilon \] \[ x\in\left(-\varepsilon;+\varepsilon\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno completo di 0, possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di 0, eccetto per x=0. Possiamo proseguire per \[ x\neq0 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|e^{\frac{1}{x}}-0\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno sinistro di 0.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|e^{\frac{1}{x}}\right|<\varepsilon \] La funzione esponenziale è sempre positiva, possiamo togliere il modulo: \[ e^{\frac{1}{x}}<\varepsilon \] \[ \ln e^{\frac{1}{x}}<\ln\varepsilon \] \[ \frac{1}{x}\ln e<\ln\varepsilon \] \[ \frac{1}{x}<\ln\varepsilon \] \[ \frac{1}{x}-\ln\varepsilon<0 \] \[ \frac{1-x\ln\varepsilon}{x}<0 \] \[ N>0\rightarrow1-x\ln\varepsilon>0\rightarrow x\ln\varepsilon<1 \] Il logaritmo di epsilon è un numero negativo, quindi: \[ N>0\rightarrow x\ln\varepsilon<1\rightarrow x>\frac{1}{\ln\varepsilon} \] \[ D>0\rightarrow x>0 \] Facendo la tabella dei segni di numeratore e denominatore, si ottiene che la frazione \[ \frac{1-x\ln\varepsilon}{x}<0\rightarrow x>\frac{1}{\ln\varepsilon}\:\wedge\: x<0 \] ovvero \[ x\in\left(\frac{1}{\ln\varepsilon};0\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno sinistro di zero, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow1}\ln_{3}\left(x+2\right)=1 \] La funzione è definita per x>-2.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\ln_{3}\left(x+2\right)-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 1.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\ln_{3}\left(x+2\right)-1\right|<\varepsilon \] \[ \ln_{3}\left(x+2\right)-1>-\varepsilon\;\wedge\;\ln_{3}\left(x+2\right)-1<\varepsilon \] \[ \ln_{3}\left(x+2\right)>1-\varepsilon\;\wedge\;\ln_{3}\left(x+2\right)<1+\varepsilon \] \[ 3^{\ln_{3}\left(x+2\right)}>3^{1-\varepsilon}\;\wedge\;3^{\ln_{3}\left(x+2\right)}<3^{1+\varepsilon} \] \[ x+2>3^{1-\varepsilon}\;\wedge\; x+2<3^{1+\varepsilon} \] \[ x>3^{1-\varepsilon}-2\;\wedge\; x<3^{1+\varepsilon}-2 \] \[ x\in\left(3^{1-\varepsilon}-2;3^{1+\varepsilon}-2\right) \] Quest’ultimo intervallo costituisce un intorno completo di 1, e possiamo affermare che il limite è verificato.