Studio di funzioni – Esercizio 90

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x\geq+1 \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\:\cup\:\left[+1;+\infty\right) \] In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1).

2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\sqrt{x^{2}-1} \end{array}\right.\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>\sqrt{x^{2}-1} \] Se x>1 possiamo elevare al quadrato a destra e sinistra: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}>x^{2}-1\rightarrow0>-1 \] quindi per x>1 la funzione è positiva.
Se x<-1: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(x\right)<0\;\forall x\in\left(-\infty;-1\right] \] quindi per x<-1 la funzione è negativa.

5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\left[\infty-\infty\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-1}\right)\cdot\frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}-\left(x^{2}-1\right)}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}1-\frac{\left|x\right|\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1+1=2 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow-\infty}-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(-x-\sqrt{x^{2}-1}\right)\cdot\frac{-x+\sqrt{x^{2}-1}}{-x+\sqrt{x^{2}-1}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{-x+\sqrt{x^{2}-1}}=0 \] La retta y=2x è un asintoto obliquo per x che tende a meno infinito.

6) Derivate: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f’\left(x\right)=1-\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}=1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{-x+\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}-1}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow-x+\sqrt{x^{2}-1}\geq0\rightarrow\sqrt{x^{2}-1}\geq x \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x>+1\\ x^{2}-1\geq x^{2} \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} x>+1\\ -1\geq0 \end{array}\right.\rightarrow S=\textrm{Ø} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x<-1\\ \sqrt{x^{2}-1}\geq x \end{array}\right.\rightarrow S=\left(-\infty;-1\right) \] Quindi per x<-1 la derivata è positiva e la funzione crescente, per x>1 la derivata è negativa e la funzione decrescente. In x=-1 e x=1 la funzione esiste ma la derivata no, per cui calcoliamo: \[ \lim_{x\rightarrow1^{+}}f’\left(x\right)=-\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow-1^{-}}f’\left(x\right)=+\infty \] quindi in x=-1 e x=1 la funzione ha tangenti verticali.

Derivata seconda: \[ f’\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} \] \[ f”\left(x\right)=-\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\cdot\frac{1}{x^{2}-1} \] \[ f”\left(x\right)>0\:\forall x\in D-\left\{ \pm1\right\} \] quindi la funzione è sempre convessa.

 

 

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31 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 90

  1. perchè nello studio del segno fai la distinzione tra maggiore di 1 e minore di meno 1?
    Io ho sempre fatto per maggiore di 0 mo mi esce sta cosa e io faccio alt+f4 con la matematica
    poi perchè esce -1? perchè mai il valore assoluto di x è -x per x che tende a meno infinito???
    sti concetti dove ca*** il trovo ?

  2. ma perchè non scrivi tutti i passaggi? qualcuno lo salti e ci devo perdere mezz’ora per capire cosa hai fatto.

  3. scusate ma quando calcola il punto di non derivabilità si trovano 2 valori (- infinito ,+ infinito),quindi la funzione non dovrebbere essere una CUSPIDE????
    grazie in anticipo per la risposta

  4. scusami Albert ma poichè i limiti della derivata prima in 1 e -1 sono infiniti di segno opposto, non dovrei avere una cuspide come punto singolare?? o sbaglio? la tangente verticale non si ha solamente quando gli infiniti sono di segno concorde?? per favore se puoi chiarirmi questo dubbio te ne sarei grato visto che ho un esame tra pochissssimi giorni!!!! grazie millee

    1. infatti
      anche io avevo lo stesso medesimo dubbio in quanto essendo gli infiniti di segno discorde dovremmo avere una cuspide

    1. Ma scusami il risultato dello studio del segno al punto 4 da dove esce? Così sembra proprio inventato dal nulla…

    1. ho raccolto x^2 dentro la radice, e poi l’ho portata fuori (a quel punto la puoi semplificare con quella al denominatore)

  5. Ciao e scusa il disturbo. Potresti spiegarmi l’intersezione per f(x)=0? Perchè non mi è molto chiara la S gigante con affianco il simbolo insieme vuoto.. Grazie mille

    E il sito è favolosamente bello

  6. Ah!
    L’ho risolta: 1 perchè è la derivata di una costante e poi il resto come la derivata di una composta e vista come t=x^2-1
    e sqr(t)come t^1/2

    grazie lo stesso!

  7. Complimenti per il sito innanzitutto, molte cose mi sono più chiare…
    Solo, in questo esercizio non capisco il primo passaggio nella derivata prima… :(

    1. L’obiettivo è quello di calcolare i limiti, poi non è detto che tu ottenga asintoti…in questo caso infatti non si ottengono asintoti verticali…

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