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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x\geq+1 \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\:\cup\:\left[+1;+\infty\right) \] In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1).

2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\sqrt{x^{2}-1} \end{array}\right.\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>\sqrt{x^{2}-1} \] Se x>1 possiamo elevare al quadrato a destra e sinistra: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}>x^{2}-1\rightarrow0>-1 \] quindi per x>1 la funzione è positiva.
Se x<-1: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(x\right)<0\;\forall x\in\left(-\infty;-1\right] \] quindi per x<-1 la funzione è negativa.

5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\left[\infty-\infty\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-1}\right)\cdot\frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}-\left(x^{2}-1\right)}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}1-\frac{\left|x\right|\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1+1=2 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow-\infty}-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(-x-\sqrt{x^{2}-1}\right)\cdot\frac{-x+\sqrt{x^{2}-1}}{-x+\sqrt{x^{2}-1}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{-x+\sqrt{x^{2}-1}}=0 \] La retta y=2x è un asintoto obliquo per x che tende a meno infinito.

6) Derivate: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f’\left(x\right)=1-\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}=1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{-x+\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}-1}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow-x+\sqrt{x^{2}-1}\geq0\rightarrow\sqrt{x^{2}-1}\geq x \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x>+1\\ x^{2}-1\geq x^{2} \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} x>+1\\ -1\geq0 \end{array}\right.\rightarrow S=\textrm{Ø} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x<-1\\ \sqrt{x^{2}-1}\geq x \end{array}\right.\rightarrow S=\left(-\infty;-1\right) \] Quindi per x<-1 la derivata è positiva e la funzione crescente, per x>1 la derivata è negativa e la funzione decrescente. In x=-1 e x=1 la funzione esiste ma la derivata no, per cui calcoliamo: \[ \lim_{x\rightarrow1^{+}}f’\left(x\right)=-\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow-1^{-}}f’\left(x\right)=+\infty \] quindi in x=-1 e x=1 la funzione ha tangenti verticali.

Derivata seconda: \[ f’\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} \] \[ f”\left(x\right)=-\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\cdot\frac{1}{x^{2}-1} \] \[ f”\left(x\right)>0\:\forall x\in D-\left\{ \pm1\right\} \] quindi la funzione è sempre convessa.

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