Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{5x-10}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|\frac{2}{5x-10}\right|>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 2.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{2}{5x-10}\right|>M \] \[ \frac{2}{\left|5x-10\right|}>M \] \[ \left|5x-10\right|<\frac{2}{M} \] \[ 5x-10>-\frac{2}{M}\;\wedge\;5x-10<+\frac{2}{M} \] \[ 5x>10-\frac{2}{M}\;\wedge\;5x<10+\frac{2}{M} \] \[ x>2-\frac{2}{5M}\;\wedge\; x<2+\frac{2}{5M} \] Otteniamo quindi \[ \left(2-\frac{2}{5M};2+\frac{2}{5M}\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di 2, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow4}\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq4 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right|>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 4.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right|>M \] \[ \frac{1}{\left|\sqrt{x}-2\right|}>M \] \[ \left|\sqrt{x}-2\right|<\frac{1}{M} \] \[ \sqrt{x}-2>-\frac{1}{M}\;\wedge\;\sqrt{x}-2<+\frac{1}{M} \] \[ \sqrt{x}>2-\frac{1}{M}\;\wedge\;\sqrt{x}<2+\frac{1}{M} \] \[ x>\left(2-\frac{1}{M}\right)^{2}\;\wedge\; x<\left(2+\frac{1}{M}\right)^{2} \] Otteniamo quindi \[ \left(\left(2-\frac{1}{M}\right)^{2};\left(2+\frac{1}{M}\right)^{2}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno di 4, possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow4}\frac{1}{\log_{2}x-2}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq4 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|\frac{1}{\log_{2}x-2}\right|>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 4.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{1}{\log_{2}x-2}\right|>M \] \[ \frac{1}{\left|\log_{2}x-2\right|}>M \] \[ \left|\log_{2}x-2\right|<\frac{1}{M} \] \[ \log_{2}x-2>-\frac{1}{M}\;\wedge\;\log_{2}x-2<+\frac{1}{M} \] \[ \log_{2}x>2-\frac{1}{M}\;\wedge\;\log_{2}x<2+\frac{1}{M} \] Otteniamo quindi \[ \left(2^{2-\frac{1}{M}};2^{2+\frac{1}{M}}\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di 4, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{1}{x^{2}}}=\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq0 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \left|e^{\frac{1}{x^{2}}}\right|>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 0.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|e^{\frac{1}{x^{2}}}\right|>M \] \[ e^{\frac{1}{x^{2}}}<-M\;\vee\; e^{\frac{1}{x^{2}}}>+M \] Analizzando gli intervalli: \[ e^{\frac{1}{x^{2}}}<-M \] risulta impossibile, mentre \[ e^{\frac{1}{x^{2}}}>+M \] \[ \frac{1}{x^{2}}>\ln M \] \[ x^{2}<\frac{1}{\ln M} \] \[ x>-\frac{1}{\sqrt{\ln M}}\;\wedge\; x<+\frac{1}{\sqrt{\ln M}} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\frac{1}{\sqrt{\ln M}};+\frac{1}{\sqrt{\ln M}}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno di 0, possiamo affermare che il limite è verificato.