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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{2x-1}{xe^{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow x\geq\frac{1}{2}\\ Den>0\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)\geq0\rightarrow x<0\;\vee\; x\geq\frac{1}{2}\\ f\left(x\right)<0\rightarrow x\in\left(0;\frac{1}{2}\right) \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{xe^{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\left(2-\frac{1}{x}\right)}{e^{x}}=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{xe^{x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(2-\frac{1}{x}\right)}{e^{x}}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{xe^{x}} \] \[ m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{\frac{x}{e^{-x}}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{\frac{1}{-e^{-x}}}=\left[\frac{2}{0^{-}}\right]=-\infty \] quindi non ci sono asintoti obliqui. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}+x\ln x+2+2x}{x} \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{\pm}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{-1}{0^{\pm}}=\mp\infty \] x=0 è un asintoto verticale.

6) Derivate: \[ f’\left(x\right)=\frac{2xe^{x}-\left(2x-1\right)\left(e^{x}+xe^{x}\right)}{x^{2}e^{2x}}=\frac{2xe^{x}-2xe^{x}-2x^{2}e^{x}+e^{x}+xe^{x}}{x^{2}e^{2x}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{e^{x}\left(-2x^{2}+x+1\right)}{x^{2}e^{2x}}=\frac{-2x^{2}+x+1}{x^{2}e^{x}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow-2x^{2}+x+1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq-\frac{1}{2}\;\wedge\; x\leq+1 \] Quindi f(x) nell’intervallo (-inf;-1/2) sarà decrescente, nell’intervallo (-1/2;0) e (0;1) crescente, per x>1 di nuovo decrescente. Per x=-1/2 e x=1 la derivata si annulla e avremo: \[ MIN\left(-\frac{1}{2};4\sqrt{e}\right) \] \[ MAX\left(1;\frac{1}{e}\right) \] Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(-4x+1\right)x^{2}e^{x}+\left(2x^{2}-x-1\right)\left(2xe^{x}+x^{2}e^{x}\right)}{x^{4}e^{2x}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{xe^{x}\left(2x^{3}-x^{2}-2x-2\right)}{x^{4}e^{2x}}=\frac{2x^{3}-x^{2}-2x-2}{x^{3}e^{x}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow2x^{3}\geq x^{2}+2x+2\\ Den>0\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] Risolviamo il numeratore per via grafica:

Risolvendo la seguente equazione per tentativi otteniamo la x di intersezione: \[ 2x^{3}=x^{2}+2x+2\rightarrow x=1,55… \] Di conseguenza, visto il grafico sopra: \[ Num\geq0\rightarrow x>1,55… \] Ricordando che \[ Den>0\rightarrow x>0 \] otteniamo: \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq1,55…\;\vee\; x<0 \] x=1,55… sarà un punto di flesso. Dopo quest’ultimo punto, e per x<0, la funzione è convessa. All’interno dell’intervallo (0;1,55…) è concava.

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