Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}=\frac{1}{3} \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}-\frac{1}{3}\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}-\frac{1}{3}\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{3x^{2}+3-3x^{2}-1}{3\left(3x^{2}+1\right)}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{2}{3x^{2}+1}\right|<3\varepsilon\rightarrow\frac{1}{\left|3x^{2}+1\right|}<\frac{3}{2}\varepsilon\rightarrow\left|3x^{2}+1\right|>\frac{2}{3\varepsilon} \] \[ 3x^{2}+1<-\frac{2}{3\varepsilon}\;\vee\;3x^{2}+1>+\frac{2}{3\varepsilon} \] Analizzando gli intervalli: \[ 3x^{2}+1<-\frac{2}{3\varepsilon} \] risulta impossibile, mentre \[ 3x^{2}+1>\frac{2}{3\varepsilon}\rightarrow x^{2}>\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3} \] \[ x<-\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}}\;\vee\; x>+\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}}\right)\cup\left(+\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x-2}=0 \] La funzione è definita per \[ x\neq2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sin\frac{1}{x-2}-0\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\sin\frac{1}{x-2}-0\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\sin\frac{1}{x-2}\right|<\varepsilon \] \[ \sin\frac{1}{x-2}>-\varepsilon\;\wedge\;\sin\frac{1}{x-2}<\varepsilon \] \[ \frac{1}{x-2}>\arcsin\left(-\varepsilon\right)\;\wedge\;\frac{1}{x-2}<\arcsin\varepsilon \] \[ x-2<\frac{1}{\arcsin\left(-\varepsilon\right)}\;\vee\; x-2>\frac{1}{\arcsin\varepsilon} \] \[ x<2+\frac{1}{\arcsin\left(-\varepsilon\right)}\;\vee\; x>2+\frac{1}{\arcsin\varepsilon} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;2+\frac{1}{\arcsin\left(-\varepsilon\right)}\right)\cup\left(2+\frac{1}{\arcsin\varepsilon};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow+-\infty}\frac{2+\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}=1 \] La funzione è definita per x<0. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{2+\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di meno infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{2+\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}-1\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{2+\sqrt{-x}-3-\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{-1}{3+\sqrt{-x}}\right|<\varepsilon\rightarrow\frac{1}{\left|3+\sqrt{-x}\right|}<\varepsilon\rightarrow\left|3+\sqrt{-x}\right|>\frac{1}{\varepsilon} \] \[ 3+\sqrt{-x}<-\frac{1}{\varepsilon}\;\vee\;3+\sqrt{-x}>+\frac{1}{\varepsilon} \] \[ \sqrt{-x}<-3-\frac{1}{\varepsilon}\;\vee\;\sqrt{-x}>-3+\frac{1}{\varepsilon} \] Analizzando gli intervalli: \[ \sqrt{-x}<-3-\frac{1}{\varepsilon} \] risulta impossibile, mentre \[ \sqrt{-x}>-3+\frac{1}{\varepsilon}\rightarrow-x>\left(-3+\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2}\rightarrow x<-\left(-3+\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-\left(-3+\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno di meno infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x^{2}+2}-x=0^{+} \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, le disuguaglianze \[ \sqrt{x^{2}+2}-x-0>0\;\vee\;\sqrt{x^{2}+2}-x-0<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di +infinito.Risolviamo ora la prima disequazione nell’incognita x: \[ \sqrt{x^{2}+2}-x-0>0\rightarrow\sqrt{x^{2}+2}-x>0 \] \[ \sqrt{x^{2}+2}>x\rightarrow x^{2}+2>x^{2}\rightarrow2>0\rightarrow S=\mathbb{R} \] Visto che questa prima disequazione è sempre verificata, l’intervallo cercato sarà coincidente con le soluzioni della seconda disequazione: \[ \sqrt{x^{2}+2}-x-0<\varepsilon\rightarrow\sqrt{x^{2}+2}<\varepsilon+x \] \[ \sqrt{x^{2}+2}<\varepsilon+x\rightarrow x^{2}+2<\left(\varepsilon+x\right)^{2} \] \[ -2\varepsilon x<\varepsilon^{2}-2\rightarrow x>\frac{2-\varepsilon^{2}}{2\varepsilon}\rightarrow x>\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{2}\varepsilon \] Otteniamo quindi \[ x\in\left(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{2}\varepsilon;+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di +infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.