Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Funzioni goniometriche

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Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=frac{e^{tan x}-1}{e^{tan x}+1};,: con; xinleft(-frac{pi}{2};+frac{pi}{2}right) ] 1) Dominio: [ D=left(-frac{pi}{2};+frac{pi}{2}right) ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)=frac{e^{tanleft(-xright)}-1}{e^{tanleft(-xright)}+1}=frac{e^{-tan x}-1}{e^{-tan x}+1} ] [ fleft(-xright)=left(frac{1}{e^{tan x}}-1right):left(frac{1}{e^{tan x}}+1right)=frac{1-e^{tan x}}{e^{tan x}}cdotfrac{e^{tan x}}{1+e^{tan x}}=frac{1-e^{tan x}}{1+e^{tan x}} ] [ fleft(-xright)=-fleft(xright) ] f(x) è dispari, per comodità la studiamo solo nell’intervallo {[}0;pi/2). Per x negative, la curva sarà simmetrica rispetto all’origine.

3) Intersezioni con gli assi: [ fleft(0right)=0rightarrowleft(0;0right)in fleft(xright) ] 4) Segno: [ Num>0rightarrow e^{tan x}>1rightarrowtan x>0rightarrow S=left(0;frac{pi}{2}right) ] [ Den>0rightarrow e^{tan x}>-1rightarrow S=left(-frac{pi}{2};+frac{pi}{2}right) ] [ fleft(xright)>0rightarrow xinleft(0;frac{pi}{2}right) ] quindi per le x positive del dominio la funzione è positiva. Per simmetria dalla parte delle x<0 sarà negativa.

5) Limiti: [ lim_{xrightarrowfrac{pi}{2}}fleft(xright)=left[frac{infty}{infty}right] ] [ lim_{xrightarrowfrac{pi}{2}}fleft(xright)=lim_{xrightarrowfrac{pi}{2}}frac{e^{tan x}cdotleft(1-frac{1}{e^{tan x}}right)}{e^{tan x}cdotleft(1+frac{1}{e^{tan x}}right)}=lim_{xrightarrowfrac{pi}{2}}frac{left(1-frac{1}{e^{tan x}}right)}{left(1+frac{1}{e^{tan x}}right)}=1 ] Per simmetria: [ lim_{xrightarrow-frac{pi}{2}}fleft(xright)=-1 ] 6) Derivate: [ fleft(xright)=frac{e^{tan x}-1}{e^{tan x}+1};,: con; xinleft(-frac{pi}{2};+frac{pi}{2}right) ] Facendo il calcolo della derivata prima otteniamo: [ f’left(xright)=frac{2e^{tan x}}{cos^{2}xcdotleft(e^{tan x}+1right)^{2}} ] [ f’left(xright)>0:forall xinleft(-frac{pi}{2};+frac{pi}{2}right) ] Perciò in tutto il dominio f(x) è crescente. Omettiamo il calcolo della derivata seconda, e riportiamo il grafico ottenuto con Mathway

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