Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 2,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a alberto@matepratica.it

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\;,\: con\; x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 1) Dominio: \[ D=\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{\tan\left(-x\right)}-1}{e^{\tan\left(-x\right)}+1}=\frac{e^{-\tan x}-1}{e^{-\tan x}+1} \] \[ f\left(-x\right)=\left(\frac{1}{e^{\tan x}}-1\right):\left(\frac{1}{e^{\tan x}}+1\right)=\frac{1-e^{\tan x}}{e^{\tan x}}\cdot\frac{e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}}=\frac{1-e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}} \] \[ f\left(-x\right)=-f\left(x\right) \] f(x) è dispari, per comodità la studiamo solo nell’intervallo {[}0;pi/2). Per x negative, la curva sarà simmetrica rispetto all’origine.

3) Intersezioni con gli assi: \[ f\left(0\right)=0\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ Num>0\rightarrow e^{\tan x}>1\rightarrow\tan x>0\rightarrow S=\left(0;\frac{\pi}{2}\right) \] \[ Den>0\rightarrow e^{\tan x}>-1\rightarrow S=\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right) \] quindi per le x positive del dominio la funzione è positiva. Per simmetria dalla parte delle x<0 sarà negativa.

5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{e^{\tan x}\cdot\left(1-\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}{e^{\tan x}\cdot\left(1+\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\left(1-\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}{\left(1+\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}=1 \] Per simmetria: \[ \lim_{x\rightarrow-\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=-1 \] 6) Derivate: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\;,\: con\; x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] Facendo il calcolo della derivata prima otteniamo: \[ f’\left(x\right)=\frac{2e^{\tan x}}{\cos^{2}x\cdot\left(e^{\tan x}+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)>0\:\forall x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] Perciò in tutto il dominio f(x) è crescente. Omettiamo il calcolo della derivata seconda, e riportiamo il grafico ottenuto con Mathway

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 2,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a alberto@matepratica.it