Studio di funzioni – Esercizio 94

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\;,\: con\; x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 1) Dominio: \[ D=\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{\tan\left(-x\right)}-1}{e^{\tan\left(-x\right)}+1}=\frac{e^{-\tan x}-1}{e^{-\tan x}+1} \] \[ f\left(-x\right)=\left(\frac{1}{e^{\tan x}}-1\right):\left(\frac{1}{e^{\tan x}}+1\right)=\frac{1-e^{\tan x}}{e^{\tan x}}\cdot\frac{e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}}=\frac{1-e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}} \] \[ f\left(-x\right)=-f\left(x\right) \] f(x) è dispari, per comodità la studiamo solo nell’intervallo {[}0;pi/2). Per x negative, la curva sarà simmetrica rispetto all’origine.

3) Intersezioni con gli assi: \[ f\left(0\right)=0\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ Num>0\rightarrow e^{\tan x}>1\rightarrow\tan x>0\rightarrow S=\left(0;\frac{\pi}{2}\right) \] \[ Den>0\rightarrow e^{\tan x}>-1\rightarrow S=\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right) \] quindi per le x positive del dominio la funzione è positiva. Per simmetria dalla parte delle x<0 sarà negativa.

5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{e^{\tan x}\cdot\left(1-\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}{e^{\tan x}\cdot\left(1+\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\left(1-\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}{\left(1+\frac{1}{e^{\tan x}}\right)}=1 \] Per simmetria: \[ \lim_{x\rightarrow-\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=-1 \] 6) Derivate: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\;,\: con\; x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] Facendo il calcolo della derivata prima otteniamo: \[ f’\left(x\right)=\frac{2e^{\tan x}}{\cos^{2}x\cdot\left(e^{\tan x}+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)>0\:\forall x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] Perciò in tutto il dominio f(x) è crescente. Omettiamo il calcolo della derivata seconda, e riportiamo il grafico ottenuto con Mathway

 

 

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