Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x+\ln x+\frac{2}{x}+2 \] 1) Dominio: \[ x>0 \] \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0 \end{array}\right.\rightarrow\nexists x\in D\;|\; x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\;\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x}\right)=1 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\ln x+\frac{2}{x}+2\right)=+\infty \] quindi non ci sono asintoti obliqui. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}+x\ln x+2+2x}{x} \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}+\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}+2+2x}{x}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}+\frac{1}{x}:\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)+2+2x}{x} \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}-x+2+2x}{x}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty \] x=0 è un asintoto verticale.
6) Derivate: \[ f’\left(x\right)=1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+x-2\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-2\;\vee\; x\geq+1 \] Quindi, visto che la funzione è definita solo per x>0, nell’intervallo (0;1) sarà decrescente, nell’intervallo (1;+inf) crescente. Per x=1 la derivata si annulla e avremo un minimo: \[ MIN\left(1;5\right) \] Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}=\frac{4-x}{x^{3}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow x\leq4\\ Den>0\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] Considerando il dominio di f(x), ovvero x>0, la funzione è convessa nell’intervallo (0;4), concava nell’intervallo (4;+inf). Per x=4 la derivata seconda si annulla e abbiamo un punto di flesso: \[ F(4;\frac{13}{2}+\ln4) \]
Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
Salve! Non riesco a capire perché nell’intersezione degli assi viene insieme vuoto.
Grazie mille!
ciao
nella ricerca di “m” hai considerato che (ln x)/x sia zero?
perchè è l’unico modo in cui può uscire 1 come risultato del limite. ma ln x = oo (infinito), e (ln x)/x viene [oo/oo] cioè una forma indeterminata.
*l’unico modo in cui possa
(ln x)/x lo puoi risolvere con de l’hopital ;) e si, viene zero
Salve, non capisco come fa a dire senza bisogno di nessun passaggio che la funzione non ha zeri ed è sempre positiva… non capisco nemmeno il passaggio nel calcolo del limite per x->0+ che trasforma xlogx in -x
– Ehm…hai ragione non si può dire senza passaggi (che non sarebbero semplici). Diciamo che sono andato ad intuizione, ma ti consiglio di tralasciare questi due punti: gli altri ti bastano per disegnare il grafico.
– Ho applicato de l’hopital a (lnx)/(1/x)
Il dominio non è R, è (0;+inf)
xk il dominio è R?
Ciao Anonimo,
significa “Insieme Vuoto”
ciao albert, nell intersezione con gli assi come arrivi a dire S=0sbarrato e cosa significa questa dicitura?
ciao e grazie