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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x+\ln x+\frac{2}{x}+2 \] 1) Dominio: \[ x>0 \] \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0 \end{array}\right.\rightarrow\nexists x\in D\;|\; x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\;\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x}\right)=1 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\ln x+\frac{2}{x}+2\right)=+\infty \] quindi non ci sono asintoti obliqui. \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}+x\ln x+2+2x}{x} \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}+\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}+2+2x}{x}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}+\frac{1}{x}:\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)+2+2x}{x} \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{2}-x+2+2x}{x}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty \] x=0 è un asintoto verticale.

6) Derivate: \[ f’\left(x\right)=1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+x-2\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-2\;\vee\; x\geq+1 \] Quindi, visto che la funzione è definita solo per x>0, nell’intervallo (0;1) sarà decrescente, nell’intervallo (1;+inf) crescente. Per x=1 la derivata si annulla e avremo un minimo: \[ MIN\left(1;5\right) \] Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}=\frac{4-x}{x^{3}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow x\leq4\\ Den>0\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] Considerando il dominio di f(x), ovvero x>0, la funzione è convessa nell’intervallo (0;4), concava nell’intervallo (4;+inf). Per x=4 la derivata seconda si annulla e abbiamo un punto di flesso: \[ F(4;\frac{13}{2}+\ln4) \]

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